2024 年甘肃预赛

解答

折叠前取 $F=(0,0,0)$，令 $FD$ 为 $x$ 轴、$FC$ 为 $y$ 轴。因 $DF=FA+AD=3=FC$，由两个平行条件可得

沿 $AE$ 折起 $90^{\circ }$ 后，不妨取

（1）平面 $ABD$ 的一个法向量为

平面 $BDE$ 的一个法向量为

因 ${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0$，故

（2）平面 $BDC$ 与平面 $EDC$ 的法向量可分别取

因此两平面夹角的余弦值为

（3）设 $Q=(t,0,2t)$，其中 $0\le t\le 1$。直线 $BQ,DE$ 的方向向量可分别取

故

又

当 $t=2/5$ 时等号成立，所以