函数综合

设 $T(x)=3-\frac{2}{x}$。从 $x$ 出发连续做 $3$ 次 $T$，哪些实数 $x$ 中途会没有意义？

问的不是结果，而是哪些起点不能走完。$T$ 只在 $0$ 处没有意义，所以倒着找哪些点会走到 $0$。

第 $1$ 次卡住：$x=0$。第 $2$ 次卡住：$T(x)=0$，即 $3=\frac{2}{x}$，$x=\frac{2}{3}$。第 $3$ 次卡住：$T(x)=\frac{2}{3}$，即 $\frac{2}{x}=\frac{7}{3}$，$x=\frac{6}{7}$。每一步的方程都只有一个解，所以没有别的起点。检查 $x=\frac{6}{7}$：$T\left(\frac{6}{7}\right)=3-\frac{7}{3}=\frac{2}{3}$，$T\left(\frac{2}{3}\right)=3-3=0$，第 $3$ 次 $T(0)$ 没有意义。

$x=0,\frac{2}{3},\frac{6}{7}$。

函数 $f$ 对所有实数 $x$ 满足 $f(x+2)\ge f(x)+3$，$f(x+3)\le f(x)+c$。求常数 $c$ 的最小可能值。

步长 $2$ 和 $3$ 的公倍数是 $6$，走到 $f(x+6)$ 比较。这里不问函数值，问的是参数。

连用 $3$ 次第一式：$f(x+6)\ge f(x+4)+3\ge f(x+2)+6\ge f(x)+9$。连用 $2$ 次第二式：$f(x+6)\le f(x+3)+c\le f(x)+2c$。所以 $f(x)+9\le f(x)+2c$，得 $c\ge \frac{9}{2}$。再看 $c=\frac{9}{2}$ 能否做到：取 $f(x)=\frac{3}{2}x$，则 $f(x+2)=f(x)+3$，$f(x+3)=f(x)+\frac{9}{2}$，两式都成立。

$c$ 的最小值是 $\frac{9}{2}$。

函数 $f$ 定义在 $x\ge 1$ 上，$f(3x)=3f(x)$ 对 $x\ge 1$ 成立；当 $1\le x<3$ 时 $f(x)=1-|x-2|$。方程 $f(x)=1$ 在 $[1,81)$ 上有几个解？

$[1,81)$ 恰好分成 $[1,3),[3,9),[9,27),[27,81)$ 这 $4$ 段，每段都能除以 $3^k$ 搬回基础区间。

记 $k=0,1,2,3$。$x$ 在 $[3^k,3^{k+1})$ 时，$u=\frac{x}{3^k}$ 在 $[1,3)$，并且 $f(x)=3^k(1-|u-2|)$。方程变成 $1-|u-2|=\frac{1}{3^k}$，即 $|u-2|=1-\frac{1}{3^k}$。$k=0$ 时 $|u-2|=0$，只有 $u=2$，即 $x=2$。$k=1,2,3$ 时，右边在 $0$ 和 $1$ 之间，$u=2\pm \left(1-\frac{1}{3^k}\right)$ 都在 $(1,3)$ 内，各有 $2$ 个解。例如 $k=1$ 时 $u=\frac{4}{3},\frac{8}{3}$，$x=4,8$，$f(4)=3\left(1-\frac{2}{3}\right)=1$。合计 $1+2+2+2=7$。

$7$ 个解。

函数 $f$ 对 $x>0$ 满足 $f\left(\frac{x}{1+x}\right)=(1+x)f(x)$，$f(1)=2$。求 $f\left(\frac{1}{100}\right)$。

$x=\frac{1}{n}$ 时 $\frac{x}{1+x}=\frac{1}{n+1}$，分母正好加 $1$，所以只看 $\frac{1}{n}$ 这列点。

设 $b_n=f\left(\frac{1}{n}\right)$，$n$ 从 $1$ 开始，$b_1=2$。$x=\frac{1}{n}>0$ 在范围内，代入得 $b_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)b_n=\frac{n+1}{n}{b}_n$。连乘时中间的因子相消：$b_{100}=\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdots \frac{100}{99}\cdot b_1=100\times 2=200$。检查：$f(x)=\frac{2}{x}$ 满足全部条件，并且 $f\left(\frac{1}{100}\right)=200$。但题目只要求这个值，解答过程没有用到 $f$ 的整个式子。

$f\left(\frac{1}{100}\right)=200$。

对所有实数，$k(x+y)=k(x)k(y)+4h(x)h(y)$，$h(x+y)=h(x)k(y)+k(x)h(y)$。证明：对所有实数 $x$，$k(x)\ge 2|h(x)|$。

系数 $4=2^2$，所以用 $k+2h$ 和 $k-2h$。分开后都是 $P(x+y)=P(x)P(y)$，而同一个数相乘是平方，不会是负数。

令 $P=k+2h$，$Q=k-2h$，则 $P(x+y)=P(x)P(y)$，$Q(x+y)=Q(x)Q(y)$。取两个输入都是 $\frac{x}{2}$，得 $P(x)=P{\left(\frac{x}{2}\right)}^2\ge 0$，$Q(x)=Q{\left(\frac{x}{2}\right)}^2\ge 0$。所以 $k(x)+2h(x)\ge 0$，$k(x)-2h(x)\ge 0$，即 $k(x)\ge 2h(x)$ 且 $k(x)\ge -2h(x)$，合起来就是 $k(x)\ge 2|h(x)|$。检查：$k=1,h=0$ 满足两式，且 $1\ge 0$。

证毕。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 对所有实数满足 $f(x+y)=f(x)f(y)-2(2^x-1)(2^y-1)$。求 $f(x)$。

取 $y=0$ 后，$2^0-1=0$，只得到 $f(x)=f(x)f(0)$，求不出函数，所以换三个变量。

记 $A=2^x-1,B=2^y-1,C=2^z-1$，则 $2^{x+y}-1=A+B+AB$。先合并 $x+y$：$f(x+y+z)=f(x)f(y)f(z)-2ABf(z)-2(A+B+AB)C$。先合并 $y+z$：$f(x+y+z)=f(x)f(y)f(z)-2BCf(x)-2A(B+C+BC)$。两式相等，约去相同项后得 $B\left[Af(z)+C-Cf(x)-A\right]=0$。取 $y=1$ 使 $B=1$：$A(f(z)-1)=C(f(x)-1)$。再取 $z=1$（$C=1$），记 $m=f(1)-1$：$f(x)=1+mA$。当 $x=0$ 时 $A=0$，得 $f(0)=1$。代回原式：$(1+mA)(1+mB)-2AB=1+m(A+B)+(m^2-2)AB$，而左边 $f(x+y)=1+m(A+B+AB)$，所以 $m^2-2=m$，$m=2$ 或 $m=-1$。两种都成立。

$f(x)=2^{x+1}-1$ 或 $f(x)=2-2^x$。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)$；$x>0$ 时 $f(x)<0$；$f(1)=-2$。解不等式 $f(x^2)-f(3x)>-8$。

给了加法关系和正负，所以 $f$ 严格递减，比较函数值时方向要改。

由 $f(0)=0$ 和 $f(-t)=-f(t)$，$f(x^2)-f(3x)=f(x^2-3x)$。$f(4)=4f(1)=-8$。$f$ 严格递减，所以 $f(x^2-3x)>f(4)$ 等价于 $x^2-3x<4$，即 $(x-4)(x+1)<0$，得 $-1<x<4$。这里没有用 $f(x)=-2x$，只用了递减。

$-1<x<4$。

$f$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格单调。对每个 $x>0$，都有 $f(x)-x^2>0$ 且 $f(f(x)-x^2)=c$，$c$ 是常数。已知 $f(1)=3$，求 $c$。

外层函数值恒等于 $c$，又是严格单调，所以内层不随 $x$ 变化。

严格单调时，函数值相同的输入相同，所以 $f(x)-x^2$ 是同一个正数 $t$，即 $f(x)=x^2+t$。由 $f(1)=1+t=3$ 得 $t=2$，所以 $f(x)=x^2+2$。这时 $c=f(t)=f(2)=6$。检查：$f(x)=x^2+2$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格递增，内层恒为 $2$，外层恒为 $6$。

$c=6$。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 严格单调，且对所有实数 $x$，$f(2x+f(x))=-f(x)$。求 $f(x)$。

$-f(x)$ 取相反数后又变回 $f(x)$，所以再用一次原式，就能造出相同的函数值。

记 $y=2x+f(x)$，原式说 $f(y)=-f(x)$。定义域是全体实数，$y$ 可以代入，把原式的 $x$ 换成 $y$，得 $f(2y+f(y))=-f(y)=f(x)$。严格单调，所以 $2y+f(y)=x$。代入 $y$ 和 $f(y)$：$2(2x+f(x))-f(x)=x$，即 $4x+f(x)=x$，所以 $f(x)=-3x$。检查：$f(x)=-3x$ 严格递减；$2x+f(x)=-x$，$f(-x)=3x=-f(x)$，成立。

$f(x)=-3x$。

证明方程 $2^x={\log }_{2}x$ 没有实数解。

底数 $2>1$，$g(t)=2^t$ 严格递增，所以方程可以变成 $2^x=x$。

假设有解，则 $x>0$。记 $t=2^x$，由 ${\log }_{2}x=t$ 得 $x=2^t$，即 $g(g(x))=x$，其中 $g(t)=2^t$ 严格递增，所以 $2^x=x$。下面说明这不可能。先看整数 $n\ge 0$：$2^0=1\ge 0+1$；如果 $2^n\ge n+1$，那么 $2^{n+1}\ge 2n+2\ge n+2$，所以总有 $2^n\ge n+1$。设 $n$ 是不超过 $x$ 的最大整数，则 $2^x\ge 2^n\ge n+1>x$，与 $2^x=x$ 矛盾。

证毕，方程没有实数解。

正数 $x_0$ 经过 $f(x)=\frac{x}{1+3x}$ 连续作用 $10$ 次，得到 $\frac{1}{32}$。求 $x_0$。

每作用一次，倒数加 $3$，所以用倒数算。

$10$ 次后倒数加了 $30$，所以 $\frac{1}{x_0}+30=32$，得 $\frac{1}{x_0}=2$，$x_0=\frac{1}{2}$。检查前两步：$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{5}$，$f\left(\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{8}$，倒数依次是 $2,5,8$，每次加 $3$。

$x_0=\frac{1}{2}$。

非负实数 $x,y,z$ 满足 $x=\sqrt{y+2}$，$y=\sqrt{z+2}$，$z=\sqrt{x+2}$。求 $x,y,z$。

三个等式是同一个操作 $g(t)=\sqrt{t+2}$ 转一圈，它在 $t\ge 0$ 上严格递增。

由三式的对称性，不妨设 $x$ 最大（换名不改变方程组的形状）。$x\ge z$，套上 $g$ 得 $g(x)\ge g(z)$，即 $z\ge y$。再套上 $g$ 得 $g(z)\ge g(y)$，即 $y\ge x$。于是 $x\ge z\ge y\ge x$，三个数相等。由 $x=\sqrt{x+2}$ 得 $x^2-x-2=0$，即 $(x-2)(x+1)=0$，$x\ge 0$，所以 $x=2$。检查：$\sqrt{2+2}=2$，成立。

$x=y=z=2$。