垫脚石（相关题 → 此题） 2021 年北京预赛 · P005930
两题都把“至少选中一个指定元素”改成完全避开该元素集合，再从全部子集中扣除。
前题的特殊元素集合已经给定；后题须先把两类数的重合准确扣除，才能使用同一补集结构。
培玉 · 一试
2021 年江西预赛
F2填空题排列组合
集合 是集合 的子集，且 中至少含有一个平方数 或者立方数，则这种子集 的个数是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先用容斥原理数出 中“平方数或立方数”的总数，再从全部子集中扣除一个这类数 都不含的子集。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
关键是平方数与立方数的交集恰为六次方数。
解答
在 中，平方数为
共 个；立方数为
共 个。
既是平方数又是立方数的正整数必为六次方数。在 到 中只有
共 个。因此， 中平方数或立方数共有
个。
的子集总数为 。不含任何平方数或立方数的子集，只能从其余 个元素中选取，共有 个。故所求个数为
复核
由于 ，立方数个数为 ；又因 ，交集个数为 。补集中包括空集，恰好对应所有 不满足“至少含有一个”的子集，没有漏计或重计。
方法总结
“子集中至少含有一个特殊元素”通常适合用补集计数：先用容斥原理确定特殊元素集合的 大小，再从全部子集数中减去完全避开该集合的子集数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先识别平方与立方数的交集为六次方数，再算12个特殊元素，用全部减完全不选的子集。
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