2017 年中科大少年班初试 · 第 7 题

解答

设 $z=x+iy\ne 0$，则 $\Im (z+1/z)=y(1-1/|z{|}^2)=0$。若 $y=0$，负实数使 $z+1/z\le -2$，不合条件；正实数使其不小于二，只在 $z=1$ 取到二。若 $y\ne 0$，必有 $|z|=1$，从而 $z+1/z=2x\in [1,2]$，即 $x\in [1/2,1)$。结合两支，实部最小值是 $\boxed{1/2}$，由 $z=1/2\pm (\sqrt{3}/2)i$ 实现。