一试训练题

解答

对任意 $x>0$，令 $m={\log }_{a}x$，则 $f(x)=f(a^m)=mf(a)={\log }_{a}x$。（1）$f(xy)={\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y=f(x)+f(y)$。（2）因 $a>1$，${\log }_{a}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格递增：$0<x_1<x_2$ 时 $f(x_2)-f(x_1)={\log }_a\frac{x_2}{x_1}>0$。（3）由（1），$1+f(2t)=f(a)+f(2t)=f(2at)$，不等式即 $f(t^2+9)\ge f(2at)$，由严格递增等价于 $t^2+9\ge 2at$，即 $a\le \frac{t^2+9}{2t}$ 对所有 $t>0$ 成立。而 $\frac{t^2+9}{2t}=\frac{1}{2}\left(t+\frac{9}{t}\right)\ge 3$，等号在 $t=3$ 取到，所以最小值为 $3$，条件等价于 $a\le 3$。结合 $a>1$，得 $\boxed{a\in (1,3]}$。