一试训练题

解答

分母 $x^4+x^2+1>0$。$x=0$ 时 $f=0$。$x\ne 0$ 时同除以 $x^2$ 并令 $u=x+\frac{1}{x}$，则 $|u|\ge 2$，且 $x^2+\frac{1}{x^2}+1=u^2-1$，所以 $f=\frac{u}{u^2-1}$。当 $u\ge 2$ 时 $f=\frac{1}{u-1/u}$，其中 $u-\frac{1}{u}$ 严格递增，取遍 $\left[\frac{3}{2},+\infty \right)$，故 $f\in \left(0,\frac{2}{3}\right]$，$u=2$（$x=1$）取到最大值。又 $f$ 是奇函数，$u\le -2$ 时 $f\in \left[-\frac{2}{3},0\right)$。加上 $x=0$ 的值 $0$，值域为 $\boxed{\left[-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right]}$。