2012 年黑龙江预赛 · 第 17 题

解答

因 $2{\cos }^2(B/2)-1=\cos B$，平行条件给 $2\sin B\cos B+\sqrt{3}\cos 2B=0$，即 $2\sin (2B+\pi /3)=0$。$0<B<\pi /2$ 只允许 $2B+\pi /3=\pi$，故 $\boxed{B=\pi /3}$。若 $b=2$，余弦定理给 $4=a^2+c^2-ac\ge ac$。所以 $S=ac\sin B/2=\sqrt{3}ac/4\le \sqrt{3}$，在 $a=c=2$ 时取等，故 $\boxed{S_{\max }=\sqrt{3}}$。