易混 2022 年福建预赛 · P006803
两题都由少数测试点约束参数，再证明候选常数对整个定义域成立。但余弦代换后是一个实数闭区间，整数二次式却可容许相邻整数之间出现负值；不能把同一套判别式要求机械搬过去。
先辨认量词覆盖连续区间还是整数点，再判断测试点所得条件是否充分。
培玉 · 一试
2025 年广东预赛
三角恒成立不等式的参数最值
F3填空题三角函数综合
已知正数 满足：对任意实数 均有
则 的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
令 后得到 上的二次不等式。
思路
为直接控制目标 ， 选取一个使 的系数消失的特殊 。
解答
令
取满足 的 ，由题设
所以
由 ，括号中的系数为 ，且 。故
取
对任意 ，
因此题设不等式恒成立，并且 (1) 取等。所求最大值为
复核
所构造的 都为正；展开 后一次项、常数项分别为 与 。
方法总结
带参数的恒成立二次不等式若要求某个参数线性式的最值，可选取恰当测试点， 让另一个参数的系数消失；最后再构造二次完全平方验证界能达到。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需选择使a系数在目标上界中消去的余弦值t0，再反构造让二次式恰成平方的a、b，形成有效上界和可达性。
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