2014 年天津预赛 · 第 6 题

解答

B、C 为锐角且正切是正整数，故 $C\ge 45^{\circ }$、$B>C$，从而 $A<90^{\circ }$，三角形全部锐。又 $C<60^{\circ }$，故整数 $\tan C=1$。设 $p=\tan A>q=\tan B>1$，正切和等积给 $p+q+1=pq$，即 $(p-1)(q-1)=2$，唯一有序整数解 $p=3,q=2$。所以 $A=\arctan 3,B=\arctan 2,C=45^{\circ }$。因 $2>\sqrt{3}$，B 大于 $60^{\circ }$，故错误的是 $\boxed{B}$。