2025 年中科大少年班营一 · 第 3 题

F4解答题递推数列

设

a_{0} > 0, a_{1} > 0,

并满足

a_{2 n} = \frac{1 + a _{2 n - 1}}{a _{2 n - 2}}, a_{2 n + 1} = \frac{1 + a _{2 n}^{2}}{a _{2 n - 1}} (n \geq 1) .

求证 ${a_{n}}$ 是周期数列，即存在正整数 $m$ ，使得 $a_{n + m} = a_{n}$ 恒成立。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F4（会透露解法方向）

无提示须先把交替式配对，消去y得对称有理递推，再识别三步回代恒等结构，并由x恢复y及全部a索引；这些相互依赖的独立判断使整题为F4，有限试算不代证明。

用到的方法（会透露解法方向）