2022 年甘肃预赛

有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件。棋盘上标有第 $0$ 站、第 $1$ 站、第 $2$ 站、$\dots$、第 $100$ 站，一枚棋子开始在第 $0$ 站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次；若掷出正面，棋向前跳一站（从 $k$ 到 $k+1$），若掷出反面，棋向前跳两站（从 $k$ 到 $k+2$）。直到棋子跳到第 $99$ 站（胜利大本营）或跳到第 $100$ 站（失败集中营）时，该游戏结束。设棋子跳到第 $n$ 站的概率为 $p_n$。

（1）求 $p_0,p_1,p_2$ 的值；

（2）求证：

（3）求 $p_{99},p_{100}$ 的值。