2017 年湖北预赛 · 第 13 题

解答

由 $\sin 1=\sin (x+1)\cos x-\cos (x+1)\sin x$，取绝对值并估计余弦模不超过1，得 $\sin 1\le f(x)+f(x+1)$。另一方面，对实数 $u,v$ 有 $|u|+|v|=\max (|u+v|,|u-v|)$。和差化积给出

因 $0<1/2<\pi /4$，前者上界较大，故证明(1)的两侧不等式。 对于(2)，$n=1$ 时首项 $f(1)=\sin 1>\sin 1/2$，其余项非负，结论成立。若 $n\ge 2$，将从 $n$ 到 $3n-1$ 的 $2n$ 项两两配对，令 $k=n+2j$，$j=0,\dots ,n-1$，则

这些正分母的和为 ${\sum }_{j=0}^{n-1}(n+2j+1)=2n^2$，且 $n\ge 2$ 时不全相等。柯西不等式及其严格等号条件给出

相加即得题求 $\boxed{\sum _{k=n}^{3n-1}\frac{f(k)}{k}>\frac{\sin 1}{2}}$。