垫脚石（此题 → 相关题） 2021 年山东预赛 · P007030
把受约束的两段空间距离写成同一平面中的折线，反射后用线段最短给下界，并把交点送回原参数域。
前题反射在一个实际三角形面上，须核交点的面内坐标；后题统一到一条线段参数，须核轴上交点处在允许区间。
培玉 · 一试
2024 年北京预赛
F3填空题空间角与距离
在棱长为 的正方体 中， 为棱 上的一点，且 。 为截面 上的动点，则 的最小值等于。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把截面所在平面看作反射镜，将折线 拉直；再检查直线与平面的交点确在三角形截面内。
解答
取
则 ，平面 的方程为 。把 关于该平面反射，得
对平面上的任意 ，有 ，故
直线 与平面相交于
三坐标非负，故 位于三角形 内，等号可达。因此答案为
复核
位于截面平面同侧不影响反射展开；等号交点满足 且是三个顶点的凸组合。
方法总结
空间中经定平面的折线路径最值仍可用镜像法；求出直线交点后必须复核其落在有限截面而非仅在无限平面上。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
将E关于截面反射给出距离和下界后，还须核准连线交点在截面三角形内而非仅在延伸平面上。
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