2012 年湖北预赛 · 第 8 题

解答

把 $1,2,\dots ,2012$ 按含有的因子 $2$ 的次数分类： 每个正整数都能唯一写成 $2^k(2j+1)$，其中 $k,j$ 为非负整数。 对固定 $k$，第 $k$ 类为

中不超过 $2012$ 的数，它们的个数恰为

确切地说，若 $2012=q{2}^{k+1}+r$、$0\le r<2^{k+1}$， 则前 $q$ 个完整区段各贡献一个；余段当且仅当 $r\ge 2^k$ 时再贡献一个，正与上式一致。 当 $k\ge 11$ 时 $2^k>2012$，该类为空，故题目求和的上限 $2012$ 已包含全部非空类别。 各类互斥并且覆盖 $1$ 至 $2012$ 的所有整数，所以