2026 年江西预赛

思路

复数的共轭乘积 $\overline{X}Y$ 的实部是对应向量的点积，虚部是有向面积；因此 $|X-Y{|}^2=|X{|}^2+|Y{|}^2-2\mathrm{Re}(\overline{X}Y)$。这是坐标恒等式，不需额外复分析知识。

想法从哪来：先平方根式等式，但不要立刻解三个未知数；所得二次关系含固定角的交叉系数，提示它们可以是平面向量长度的平方。目标同样是两个线性式平方之和，也像一个向量的模平方。于是寻找两条复向量，使已知的三个二次式分别成为两向量模与差的模。 这样三条长度确定两向量夹角的余弦，也就是共轭乘积的实部；其模又等于两模之积，因而虚部大小也可确定。变量全正决定有向面积的符号，这是避免得到另一个错误值的关键。最后把目标写成这两向量的一个简单线性组合，不必求出三个变量本身。

直接解出 $a,b,c$ 会引入高次消元。三个根式等式平方后，分别成为夹角为 $60^{\circ },90^{\circ },30^{\circ }$ 的向量长度关系。用复数把这三个二次型同时表示为模， 再由余弦定理确定两个复向量的内积和有向面积，就能直接算出目标而无需解变量。