培玉 · 一试
2022 年江西预赛
积为一时的根式和下界
F3解答题不等式的证明
设 为正实数，满足 。求证：
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
乘积条件提示取对数。
思路
把 代入根式后，函数 是凸函数，三变量对数之和为零，Jensen 不等式恰在 处给出下界。
解答
定义
令 ，则
所以 在 上为严格凸函数。
由 ，有
应用 Jensen 不等式，
等号当且仅当 时成立。
复核
正数条件保证对数均有定义； 满足乘积条件并使三个根式都等于 ，故等号可达。
方法总结
乘积固定而函数不是直接对 凸或凹时，可在对数坐标中考察 。若 凸，则对 使用 Jensen 能把乘积条件转成平均值条件。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
根式换元后，乘积条件可转成两组三项的乘积；分别施用均值不等式，再把两组估计合并。
已记下，谢谢！