2026 年福建预赛

解答

记所有棱长为 $s=2\sqrt{3}$，取

设三棱柱的平移向量

则 $|\mathbf{v}|=s$，且 $B_1=B+\mathbf{v}$。由 $\cos \angle A_{1}AB=-\frac{1}{4}$ 得

又由 $C{B}_1=s$，

结合 $|B-C|=|\mathbf{v}|=s$，可得

代入 $B-C=(s/2,-\sqrt{3}s/2,0)$ 及 $u=-s/4$，得到

不妨取 $w=\sqrt{3}s/2$；另一符号只对应关于底面的镜像，不影响半径。

$△ABC$ 的外心为

所以四点 $A,B,C,A_1$ 的外接球心必为 $S=H+(0,0,t)$。由 $SA=S{A}_1$，

而

故 $2tw=s^2$，从而 $t=s/\sqrt{3}$。于是外接球半径 $R$ 满足

故