2010 年河北预赛 · 第 15 题

解答

（一）$a_1=3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$。若 $a_n\equiv 3(\mathrm{mod}4)$，则 $a_{n+1}\equiv 3^2+3-1\equiv 3(\mathrm{mod}4)$，归纳得 $\boxed{a_n\equiv 3(\mathrm{mod}4)(n\ge 1)}$。 （二）不妨 $n>m$。递推给 $a_{m+1}\equiv -1(\mathrm{mod}{a}_m)$，而负一代入 $t^2+t-1$ 后仍为负一。因此归纳得所有 $n>m$ 都有 $a_n\equiv -1(\mathrm{mod}{a}_m)$。于是任一公因子同时整除 $a_m$ 与负一，只能为一，即 $\boxed{\gcd (a_m,a_n)=1}$。