2023 年吉林预赛

解答

（1）点 $P(-2,0)$ 是椭圆的左顶点，故 $a=2$。焦距 $2c=2\sqrt{3}$，所以 $c=\sqrt{3}$，$b^2=a^2-c^2=1$。因此

（2）将下半椭圆上的点参数化为

直线 $PX$ 与 $y=-1$ 的交点到 $Q$ 的距离为

令 $A,B$ 对应的半角余切分别为 $r,s>0$，则

从 $Q$ 到 $X(\theta )$ 的斜率为

因 $A,B,Q$ 共线且 $A\ne B$，两参数满足

其中同号只给出 $r=s$，故必取异号，得到 $r+s=2rs$。于是

为定值。