培玉 · 一试

专题地图 › 函数与方程

函数的值域

从这里开始

函数值域：界、取等与中间值都要落地

从原定义域出发，确定准确换元范围，验证取等可行及每个中间值可达，并区分最大最小值与上确界下确界。

四题目标训练：先试一题 → 换条件应用 → 辨析条件差异 → 换题验证。

开始四题目标训练

从 F1 第一题开始随机来一道 F2

本专题核心公式速查

求值域先明确哪些自变量或参数真正可取，再证明候选函数值全部能够实现。根式、绝对值、圆与球约束经常把式子化为低维问题，但新变量的范围不能随意放大。求出两端之后，还要区分区间内部是否有缺口、端点能否达到，以及题目是否另有整数或有理性限制。

1. 先修与破题直觉 先分清定义域和值域：前者限制输入，后者收集所有能实现的输出。对 $y = 1 - x^{2}$ ，实数范围内先有 $- 1 \leq x \leq 1$ ，再得 $0 \leq y \leq 1$ 。反过来任取 $y \in [0, 1]$ ，令 $x = 1 - y^{2}$ 就能实现它，故值域确为 $[0, 1]$ ，不只是被这个区间包含。

2. 核心条件辨析 求界和证可达要分开。对 $x > 0$ 的 $y = x + 1/ x$ ，由 $(x - 1)^{2} \geq 0$ 得 $y \geq 2$ ，且 $x = 1$ 取等。任给 $y \geq 2$ ，方程 $x^{2} - y x + 1 = 0$ 的两根为 $(y \pm y^{2} - 4) /2$ ，都为正，所以每个这样的 $y$ 都能实现，值域为 $[2, + \infty)$ 。若另有限定输入，必须重新检查这一步。

3. 典型误区对比 沿用同一公式却忽略定义域会弄错端点：当 $0 < x < 1$ ， $x + 1/ x$ 严格递减，趋近 $x = 1$ 时只趋近 $2$ ，故值域为 $(2, + \infty)$ ，不是 $[2, + \infty)$ 。离散输入也不能填满区间：若 $x \in {- 1, 0, 1}$ ， $x^{2}$ 的值域是 ${0, 1}$ ，中间的 $1/2$ 无法取得。

4. 方法迁移带练 把区间换元迁移到二次函数：求 $x \in (0, 3]$ 时 $x^{2} - 2 x$ 的值域，令 $u = x - 1 \in (- 1, 2]$ ，得到 $u^{2} - 1$ 。因 $u = 0$ 可取且 $u = 2$ 可取，最小、最大值分别为 $- 1$ 、 $3$ ；任给 $y \in [- 1, 3]$ ，取 $x = 1 + y + 1 \in [1, 3]$ 均可实现，故值域为 $[- 1, 3]$ 。换元区间虽左开，值域并不因此左开。

5. 分级真题实战 先做下方自测，逐项说明端点能否达到、区间内是否漏值；再从本页方法卡的例题链接选题。基础轮用“结构换元与准确参数区间”和“平方和、配方与非负量的界”；进阶轮用“先消元再证明参数可行”补足反向存在性；综合轮用“变区间最值、反求端点与值域并集”处理参数变化。按题页实际难度选题，每次把“所有输出都在范围内”与“范围内每个输出都能实现”各写一句。

先修（培玉高中数学）：函数的概念及其表示函数的基本性质二次函数与一元二次方程、不等式基本不等式导数在研究函数中的应用

知识要点

值域由定义域与可达性共同决定

同一个表达式换定义域，值域也会改变。连续函数在一个区间上的像仍是区间，但定义域分成几段时要分别求像再取并集。例： $x^{2}$ 在 $(- 1, 2]$ 上的值域是 $[0, 4]$ ，左端自变量不取到不妨碍函数值 $0$ 在内部取得；而 $1/ x$ 在 $R ∖ {0}$ 上的值域本身也缺少 $0$ 。

极值点、定义域端点与极限分别核对

二次式可先配方，再看顶点是否落在允许区间；一般单变量函数还要比较驻点、分段交界和端点。例： $x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$ 在 $[0, 3]$ 上最小值为 $- 1$ 、最大值为 $3$ ，值域为 $[- 1, 3]$ 。开端点只可能提供极限值，若没有其他自变量取得同一值，就不能把它写成最大值或最小值。

换元必须求出新变量的完整范围

两个非负根式的平方常把和与乘积联系起来。例： $t = x + 6 - x$ ， $0 \leq x \leq 6$ ，满足 $t^{2} = 6 + 2 x (6 - x)$ ，所以 $6 \leq t \leq 23$ ；两端分别在端点与 $x = 3$ 取得，连续性又保证中间值可达。只写一个不等式上界，还不能证明它是准确的参数范围。

平方和分解给出全局下界

若根号内能写成 $A^{2} + B^{2}$ ，先用 $A^{2} + B^{2} \geq ∣ A ∣$ ，再处理绝对值，不必立刻求导。例： $g (x) = x^{2} + (3 - x^{2})^{2} + (x - 1)^{2} \geq 3$ ，且 $x = 1$ 取等。该函数在实轴连续并向上无界，故值域为 $[3, + \infty)$ ；不能只证明最小值就自动省略完整值域的连通性说明。

圆上线性式的等号方向须合法

对 $R \geq 0$ ，由 $X^{2} + Y^{2} = R^{2}$ 得 $a X + bY \leq R a^{2} + b^{2}$ 。当 $R > 0$ 且 $(a, b) \neq = (0, 0)$ 时，上界等号要求两向量同向；零半径或零系数另直接核算。附加半圆条件可能挡住该方向。例： $X^{2} + Y^{2} = 4, Y \geq 0$ 时， $3 X - 4 Y$ 的最小值 $- 10$ 在 $(- 6/5, 8/5)$ 取得，最大值 $6$ 在 $(2, 0)$ 取得，不能照搬整个圆的上界 $10$ 。

绝对值与极值函数先找分界

绝对值在内部式为零时换号， $max {A, B}$ 与 $min {A, B}$ 在 $A = B$ 处换式。例： $∣ t - 1∣ + ∣ t + 2∣$ 的最小值是 $3$ ，所有 $- 2 \leq t \leq 1$ 都能取得。目标若含分式，比较或乘去分母以前还要核符号；尤其分母为负时，不等号必须反向，不能仅凭分子变大就判断商变大。

消元后恢复原变量的存在条件

把若干变量换成和与积，可以降维，但剩余实变量存在也有约束。例：若 $u + v = 2, uv = s$ ，则实数 $u, v$ 存在当且仅当方程 $t^{2} - 2 t + s = 0$ 的判别式非负，即 $s \leq 1$ ；不能在未给正数条件时额外要求 $s \geq 0$ 。含三角量时要保留其值域，根又作为系数时要反向核原方程与几何条件。

离散参数与区间并集不能连续化

整数参数的候选端点应在整数上比较。例： $(n - 5/2)^{2}$ 对正整数 $n$ 的最小值为 $1/4$ ，由 $n = 2, 3$ 取得，并不是连续变量的最小值 $0$ 。多个值域的并集还须检查是否相交： $(n, n + 2)$ 对 $n = 1, 2, \dots$ 的并集为 $(1, + \infty)$ ，因为相邻区间重叠；只取全部端点的最小值、最大值不能排除中间缺口。

方法卡

根式、分式求值域：换一个新变量，并求准它的范围

找一个能把式子同时表示出来的新变量，把题变成简单函数求值域。新变量能取哪些值要算准，否则答案就错。

完整讲解 · 例题 · 可练 54 题

一、是什么

换元的原理：新范围上的函数值就是答案

设 $t = g (x)$ 。如果 $f (x)$ 能写成 $h (t)$ ，那么 $f$ 的值域就等于 $h$ 在“ $t$ 能取到的全部值”上的值域。所以范围写大了，答案就会多出取不到的值。例如 $x^{2} + 2 x + 3$ 中设 $t = x + 1$ ，则 $t$ 取遍全体实数，式子等于 $t^{2} + 2$ ，值域是 $[2, + \infty)$ 。

一个根式：设根式为 $t$ ，解出 $x$

$y = x + 1 - x$ 中设 $t = 1 - x$ ，则 $t \geq 0$ ， $x = 1 - t^{2}$ ，于是 $y = - t^{2} + t + 1$ 。根号消失，变成 $t \geq 0$ 上的二次函数。反过来，任给 $t \geq 0$ ，取 $x = 1 - t^{2}$ ，就有 $1 - x = t$ ，所以 $t$ 确实取遍所有非负数。

先看一道例题

例 1：一个根式，直接配方

求 $y = x - x - 1$ 的值域。

怎么看出来：

只有一个根式，根号内对 $x$ 是一次的。设根式为 $t$ ，式子变成二次函数。

解：

定义域为 $x \geq 1$ 。设 $t = x - 1$ ，则 $t \geq 0$ ， $x = t^{2} + 1$ ；任给 $t \geq 0$ ，取 $x = t^{2} + 1$ 都对应这个 $t$ 。于是 $y = t^{2} - t + 1 = (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$ ， $t = \frac{1}{2}$ 时取等号。任给 $y \geq \frac{3}{4}$ ，取 $t = \frac{1}{2} + y - \frac{3}{4}$ ，它非负，正好得到这个 $y$ 。检查： $t = \frac{1}{2}$ 对应 $x = \frac{5}{4}$ ， $y = \frac{5}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ 。

答案：

$[\frac{3}{4}, + \infty)$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
只有一个根式，根号内对 $x$ 是一次的，如 $1 - x$	设根式为 $t \geq 0$ ，解出 $x$ ，化成二次函数
$a + x$ 与 $a - x$ 同时出现，或还有 $a^{2} - x^{2}$	设 $t$ 为两根式之和，乘积根式用 $t^{2}$ 表示（见进阶“互补根式”）
分子分母都是二次式，且去掉公共部分后只剩 $x$	同除以 $x$ ，设 $u = x + \frac{1}{x}$ ， $∣ u ∣ \geq 2$ ，另算 $x = 0$ （见进阶“分式换元”）
根号内是 $x^{2} - c$ ， $x$ 可正可负	定义域分成两段，分别处理；正的一段常用有理化（见进阶“定义域分两段”）
$x$ 与 $1 - x^{2}$ 同时出现，或分母有 $1 + x^{2}$	学过三角函数后可设 $x = cos θ$ 或 $x = tan θ$ （见进阶“三角换元”）

三、怎么用

写出 $x$ 的取值范围，记下每个根式都是非负的。例如 $y = x + 1 - x$ ，要求 $x \leq 1$ 。
选新变量，把整个式子写成新变量的函数。设 $t = 1 - x$ ， $x = 1 - t^{2}$ ， $y = - t^{2} + t + 1$ 。
求新变量的完整范围：既要说明它不会超出，也要说明范围内每个值都能取到。 $t \geq 0$ ；任给 $t \geq 0$ ，取 $x = 1 - t^{2}$ ，就有 $1 - x = t$ 。
在这个范围上求新函数的值域。配方得 $y = - (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4} \leq \frac{5}{4}$ 。任给 $y \leq \frac{5}{4}$ ，取 $t = \frac{1}{2} + \frac{5}{4} - y$ ，它非负，正好得到这个 $y$ 。所以值域是 $(- \infty, \frac{5}{4}]$ 。
把最大值、最小值对应的 $x$ 找出来，代回原式检查。 $t = \frac{1}{2}$ 对应 $x = \frac{3}{4}$ ， $y = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$ ，成立。

四、再做一道

例 2：根式在分子，分母含 $x$

求 $y = \frac{x + 1}{x + 2}$ 的值域。

怎么看出来：

根号内对 $x$ 是一次的，设根式为 $t$ ，分母也能用 $t$ 表示，整个式子变成 $t$ 的分式。

解：

定义域为 $x \geq - 1$ ，此时分母为正。设 $t = x + 1$ ，则 $t \geq 0$ 且能取遍所有非负数， $x + 2 = t^{2} + 1$ ，于是 $y = \frac{t}{t ^{2} + 1}$ 。 $t = 0$ 时 $y = 0$ 。 $t > 0$ 时 $y = \frac{1}{t + \frac{1}{t}}$ 。由 $(t - 1)^{2} \geq 0$ 得 $t^{2} + 1 \geq 2 t$ ，两边除以 $t$ 得 $t + \frac{1}{t} \geq 2$ ，所以 $0 < y \leq \frac{1}{2}$ ， $t = 1$ 时取等号。中间的值：任给 $y \in (0, \frac{1}{2}]$ ，方程 $y t^{2} - t + y = 0$ 的判别式 $1 - 4 y^{2} \geq 0$ ，取根 $t = \frac{1 + 1 - 4 y ^{2}}{2 y} > 0$ ，就得到这个 $y$ 。检查： $t = 1$ 对应 $x = 0$ ， $y = \frac{1}{2}$ 。

答案：

$[0, \frac{1}{2}]$ 。

五、容易错在哪

换元后忘了新变量的范围。 $t^{2} + t$ 在全体实数上最小是 $- \frac{1}{4}$ ，但 $t = x \geq 0$ 时最小是 $0$ 。
只由不等式得到 $t \leq M$ 还不够，要找到一个 $x$ 使等号成立，否则 $M$ 可能取不到。
设 $t = x + 1 - x^{2}$ 后不能写 $- 2 \leq t \leq 2$ 。根式非负， $t$ 的最小值是 $- 1$ 。
同除以 $x$ 之前要单独算 $x = 0$ 的函数值，否则值域可能漏掉一个点。
进阶题里：设 $x = tan θ$ 时角度只能在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，需要的最值如果只在端点才取到，它就取不到。

进阶：互补根式

两个互补根式：设它们的和

设 $t = a + x + a - x$ （ $a > 0$ ）。平方得 $t^{2} = 2 a + 2 a^{2} - x^{2}$ ，所以乘积根式 $a^{2} - x^{2} = \frac{t ^{2} - 2 a}{2}$ 。因为 $0 \leq a^{2} - x^{2} \leq a$ ，所以 $2 a \leq t \leq 2 a$ ，两端分别在 $x = \pm a$ 和 $x = 0$ 取到。

另一种新变量： $t = x + 1 - x^{2}$

这个范围要单独算，不能照搬上一段。下界：定义域要求 $x \geq - 1$ ，根式又非负，所以 $t \geq - 1$ 。上界： $(x - 1 - x^{2})^{2} \geq 0$ 展开得 $1 - 2 x 1 - x^{2} \geq 0$ ，而 $t^{2} = 1 + 2 x 1 - x^{2}$ ，所以 $t^{2} \leq 2$ ， $t \leq 2$ 。取等： $x = - 1$ 时 $t = - 1$ ； $x = \frac{2}{2}$ 时 $t = 2$ 。中间的值：任给 $t \in [- 1, 2]$ ，取 $x = \frac{t - 2 - t ^{2}}{2}$ ，可以代入算出 $t - x = \frac{t + 2 - t ^{2}}{2} \geq 0$ ，且 $x^{2} + (t - x)^{2} = 1$ ，所以 $1 - x^{2} = t - x$ ， $x + 1 - x^{2} = t$ 。因此范围恰是 $[- 1, 2]$ ，不是 $[- 2, 2]$ 。

例 3：互补根式

求 $f (x) = 2 + x + 2 - x + 4 - x^{2}$ 的值域。

怎么看出来：

第 3 个根式正好是前两个的乘积，设两根式之和，它的平方能表示乘积。

解：

定义域为 $[- 2, 2]$ 。设 $t = 2 + x + 2 - x$ ，则 $t \geq 0$ ， $t^{2} = 4 + 2 4 - x^{2}$ 。因为 $0 \leq 4 - x^{2} \leq 2$ ，所以 $t \in [2, 22]$ 。每个 $t$ 都取得到：任给 $t \in [2, 22]$ ，令 $w = \frac{t ^{2} - 4}{2} \in [0, 2]$ ，取 $x = 4 - w^{2}$ ，则 $4 - x^{2} = w$ ， $t^{2} = 4 + 2 w$ 。又 $4 - x^{2} = \frac{t ^{2} - 4}{2}$ ，所以 $f = \frac{t ^{2}}{2} + t - 2$ ， $t > 0$ 时两项都随 $t$ 增大，所以递增，每个中间值都取到。 $t = 2$ 时 $f = 2$ ； $t = 22$ 时 $f = 2 + 22$ 。检查： $x = 2$ 时 $2 + 0 + 0 = 2$ ； $x = 0$ 时 $2 + 2 + 2 = 2 + 22$ 。

答案：

$[2, 2 + 22]$ 。

进阶：分式换元

分式：除掉公共部分

$\frac{x ^{2} + 3 x + 1}{x ^{2} + 1} = 1 + \frac{3 x}{x ^{2} + 1}$ 。 $x = 0$ 时值为 $1$ 。 $x \neq = 0$ 时上下同除以 $x$ ，得 $1 + \frac{3}{u}$ ，其中 $u = x + \frac{1}{x}$ 。 $x > 0$ 时 $x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x} \geq 0$ ，所以 $u \geq 2$ ； $x < 0$ 时把 $- x$ 代入同一个结论，得 $u \leq - 2$ 。反过来， $∣ u ∣ \geq 2$ 时方程 $x^{2} - ux + 1 = 0$ 的判别式 $u^{2} - 4 \geq 0$ ，有实根，所以这些 $u$ 都取得到。于是 $\frac{3}{u} \in [- \frac{3}{2}, 0) \cup (0, \frac{3}{2}]$ ，再补上 $x = 0$ 时的值 $1$ ，值域是 $[- \frac{1}{2}, \frac{5}{2}]$ 。

根式除以一次式：设 $t = \frac{1}{x + 2}$

把分母除进根号。 $x = \frac{1}{t} - 2$ 代入得 $x^{2} + 2 x + 5 = \frac{1}{t ^{2}} - \frac{2}{t} + 5$ ，所以 $\frac{x ^{2} + 2 x + 5}{x + 2}$ 在 $x > - 2$ （ $t > 0$ ）时等于 $5 t^{2} - 2 t + 1$ ，配方得 $5 t^{2} - 2 t + 1 = 5 (t - \frac{1}{5})^{2} + \frac{4}{5}$ ，最小值 $\frac{2 5}{5}$ 在 $t = \frac{1}{5}$ 即 $x = 3$ 取到。在 $x < - 2$ （ $t < 0$ ）时等于 $- 5 t^{2} - 2 t + 1$ ，此时 $5 t^{2} - 2 t + 1 > 1$ ，所以只能取小于 $- 1$ 的值。

进阶：三角换元 · 先修：三角函数、二倍角公式

三角换元：把根式或 $1 + x^{2}$ 变成三角式

$a^{2} - x^{2}$ （ $a \geq 0$ ）可设 $x = a cos θ$ ， $θ \in [0, π]$ ，此时根式等于 $a sin θ$ ，符号正好是非负的。 $1 + x^{2}$ 在分母时可设 $x = tan θ$ ， $θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，因为 $1 + tan^{2} θ = \frac{1}{cos ^{2} θ}$ 。例如 $\frac{2 x}{1 + x ^{2}} = sin 2 θ$ ，值域为 $[- 1, 1]$ 。根号内不标准时先配方，如 $2 x - x^{2} = 1 - (x - 1)^{2}$ 。

例 4：正切换元

求 $f (x) = \frac{1 + 2 x - x ^{2}}{1 + x ^{2}}$ 的值域。

怎么看出来：

分母是 $1 + x^{2}$ ，分子是二次式， $x = tan θ$ 后恰好能写成二倍角。

解：

设 $x = tan θ$ ， $θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，它能取遍全体实数 $x$ 。上下同乘 $cos^{2} θ$ 得 $f = cos^{2} θ + 2 sin θ cos θ - sin^{2} θ = cos 2 θ + sin 2 θ = 2 sin (2 θ + \frac{π}{4})$ 。此时 $2 θ + \frac{π}{4} \in (- \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4})$ ，这个开区间包含 $- \frac{π}{2}$ 和 $\frac{π}{2}$ ，所以正弦取遍 $[- 1, 1]$ 。检查：最大值对应 $θ = \frac{π}{8}$ ， $x = tan \frac{π}{8} = 2 - 1$ ，代入得 $\frac{1 + 2 ( 2 - 1 ) - ( 3 - 2 2 )}{1 + 3 - 2 2} = \frac{4 2 - 4}{4 - 2 2} = 2$ 。

答案：

$[- 2, 2]$ 。

进阶：极坐标 · 先修：三角函数、二倍角公式、极坐标

二次约束用极坐标

条件或目标含 $x^{2} + y^{2}$ 时，可设 $x = r cos θ, y = r sin θ$ 。这种写法对任意非原点的点都成立：取 $r = x^{2} + y^{2} > 0$ ，点 $(\frac{x}{r}, \frac{y}{r})$ 到原点的距离是 $1$ ，在单位圆上，所以有角 $θ$ 使 $\frac{x}{r} = cos θ$ ， $\frac{y}{r} = sin θ$ 。这样 $r^{2}$ 就是 $x^{2} + y^{2}$ ，式子只剩 $r$ 和 $θ$ 。

例 5：圆上的二次目标

实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 2$ ，求 $x^{2} + x y + y^{2}$ 的取值范围。

怎么看出来：

条件就是 $r^{2} = 2$ ，所以只有角度在变。设 $x = 2 cos θ, y = 2 sin θ$ ，目标只剩 $θ$ 。

解：

代入并用 $sin θ cos θ = \frac{1}{2} sin 2 θ$ ，得 $x^{2} + x y + y^{2} = 2 + 2 sin θ cos θ = 2 + sin 2 θ$ 。 $θ$ 取遍全部角度时， $sin 2 θ$ 取遍 $[- 1, 1]$ ，所以目标取遍 $[1, 3]$ 。检查： $x = y = 1$ 时目标为 $3$ ； $x = 1, y = - 1$ 时目标为 $1$ 。

答案：

$[1, 3]$ 。

进阶：定义域分两段

例 6：定义域分两段，再有理化

求 $f (x) = x^{2} + x - x$ 的值域。

怎么看出来：

定义域是 $x \geq 0$ 或 $x \leq - 1$ ，中间断开。 $x > 0$ 时根式和 $x$ 都很大，相减看不出大小，用有理化； $x \leq - 1$ 时 $- x > 0$ ，两部分都是正的。

解：

$x = 0$ 时 $f = 0$ 。 $x > 0$ 时，乘以根式和再除回去（这叫有理化）： $f = \frac{( x ^{2} + x ) - x ^{2}}{x ^{2} + x + x} = \frac{x}{x ^{2} + x + x} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} + 1}$ 。因为 $1 + \frac{1}{x} > 1$ ，所以 $0 < f < \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ 取不到。 $x \leq - 1$ 时， $f = x^{2} + x + ∣ x ∣ \geq 0 + 1 = 1$ ， $x = - 1$ 时取等号。再说明这些值都取得到。设 $y = f (x)$ ，则 $x^{2} + x = y + x$ ，平方并消去 $x^{2}$ 得 $x (1 - 2 y) = y^{2}$ 。任给 $y \in [0, \frac{1}{2})$ ，取 $x = \frac{y ^{2}}{1 - 2 y} \geq 0$ ，此时 $y + x \geq 0$ ，所以 $f (x) = y$ 。任给 $y \geq 1$ ，取 $x = - \frac{y ^{2}}{2 y - 1}$ ，由 $y^{2} \geq 2 y - 1$ 得 $x \leq - 1$ ，而 $y + x = \frac{y ( y - 1 )}{2 y - 1} \geq 0$ ，所以 $f (x) = y$ 。检查： $x = 3$ 时 $f = 12 - 3 \approx 0.46 < \frac{1}{2}$ ； $x = - 2$ 时 $f = 2 + 2$ 。

答案：

$[0, \frac{1}{2}) \cup [1, + \infty)$ 。

真题

按这个方法练 · 54 题

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带根式的和求范围：配成平方和，或平方后看乘积

两个根式的平方和固定时，平方一次，只剩一个乘积要看；根号内能拆成平方和时，把根式放缩成绝对值，就能消去变量。

完整讲解 · 例题 · 可练 47 题

一、是什么

两个根式、平方和固定：平方后看乘积

设 $u = x - a, v = b - x$ ， $a < b$ ，则 $u^{2} + v^{2} = b - a$ 固定。 $(u + v)^{2} = (b - a) + 2 uv$ ，所以只要看乘积 $uv$ 。 $uv$ 最小是 $0$ ，在端点 $x = a$ 或 $x = b$ 。最大值由 $(u - v)^{2} \geq 0$ 得到：展开就是 $2 uv \leq u^{2} + v^{2} = b - a$ ，等号在 $u = v$ 。

中间的值怎样取到

两端算出来后，还要说明中间每个值都取得到。能解出 $x$ 时直接写出来，见下面的步骤和例 1。解不出来时看图像：函数在一段上没有断开，图像就是一条连续不断的线，从最低处走到更高处，会经过中间所有高度，见例 2。

平方和开根号，不小于其中一项的绝对值

对任意实数 $A, B$ ，有 $A^{2} + B^{2} \geq ∣ A ∣$ ，等号当且仅当 $B = 0$ 。例如 $(x - 2)^{2} + (x - 1)^{2} \geq ∣ x - 2∣$ ， $x = 1$ 时取等号。

配出常数下界

如果 $f = U + (M - U)^{2} + V^{2}$ ，那么 $f \geq U + ∣ M - U ∣ \geq M$ 。第 2 步是因为 $∣ M - U ∣ \geq M - U$ 。等号要同时满足 $V = 0$ 和 $U \leq M$ 。这样得到下界 $M$ ；只有能找到同时满足这两个条件的变量值， $M$ 才是最小值。例如 $U = x^{2}, M = 0, V = 1$ 时， $V = 0$ 做不到，下界 $0$ 取不到。

先看一道例题

例 1：平方和固定，求和与积的组合

非负实数 $a, b$ 满足 $a^{2} + b^{2} = 8$ ，求 $a + b + ab$ 的取值范围。

怎么看出来：

平方和固定时， $a + b$ 平方后只多一个 $ab$ ，所以设 $s = a + b$ ，整个目标都能用 $s$ 表示。

解：

设 $s = a + b$ ，则 $s^{2} = 8 + 2 ab$ ， $ab = \frac{s ^{2} - 8}{2}$ 。因为 $ab \geq 0$ ，所以 $s \geq 22$ ；由 $(a - b)^{2} \geq 0$ 得 $2 ab \leq a^{2} + b^{2} = 8$ ，所以 $s \leq 4$ 。这个范围里的 $s$ 都取得到：任给 $s \in [22, 4]$ ，取 $a = \frac{s + 16 - s ^{2}}{2}, b = \frac{s - 16 - s ^{2}}{2}$ 。这时 $a + b = s$ ， $a^{2} + b^{2} = \frac{2 s ^{2} + 2 ( 16 - s ^{2} )}{4} = 8$ ；又 $s^{2} \geq 8 \geq 16 - s^{2}$ ，所以 $s \geq 16 - s^{2}$ ， $b \geq 0$ 。目标 $= g (s) = s + \frac{s ^{2} - 8}{2}$ 。设 $0 < s_{1} < s_{2}$ ，作差 $g (s_{2}) - g (s_{1}) = (s_{2} - s_{1}) (1 + \frac{s _{1} + s _{2}}{2}) > 0$ ，所以 $g$ 递增。 $g (22) = 22$ ， $g (4) = 8$ 。中间的值：任给 $w \in [22, 8]$ ，由 $g (s) = w$ 解得 $s = - 1 + 9 + 2 w$ ，它随 $w$ 增大，从 $22$ 到 $4$ ，所以在范围内。检查： $a = b = 2$ 时 $4 + 4 = 8$ ； $a = 22, b = 0$ 时为 $22$ 。

答案：

$[22, 8]$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$x - a + b - x$	设两根式，平方和固定，平方后看乘积
两个非负数的平方和已知，目标含它们的和与积	设 $s$ 为和，把积写成 $s$ 的式子
一次式或 $x^{2}$ 加上根式，根号内是四次式	把根号内拆成 $(M - U)^{2}$ 加一个平方， $U$ 是根号外的式子
根号内 $x^{4}$ 的系数是 $2$	拆成两个二次式的平方和（见进阶“怎样拆出平方”）
$x - a + k b - x$ ，系数不同	上界用柯西，下界比较端点（见进阶“系数不同的根式和”）
两个根式，根号内都能配成平方和，如 $x^{2} + 1 + (x - 3)^{2} + 4$	看成距离和（见进阶“距离和”）

三、怎么用

写定义域，设出根式。例如 $x - 1 + 5 - x$ ， $1 \leq x \leq 5$ 。设 $u = x - 1, v = 5 - x$ ，则 $u^{2} + v^{2} = 4$ 。
平方，只剩一个乘积。 $(u + v)^{2} = 4 + 2 uv$ 。
求乘积的范围，写出取等的 $x$ 。 $x = 1$ 或 $5$ 时 $uv = 0$ ； $2 uv \leq u^{2} + v^{2} = 4$ ， $u = v$ 即 $x = 3$ 时取等。
开方得两端。 $(u + v)^{2}$ 从 $4$ 到 $8$ ，所以 $u + v$ 最小 $2$ ，最大 $22$ 。代回核对： $x = 1$ 时为 $0 + 2 = 2$ ； $x = 3$ 时为 $2 + 2 = 22$ 。
说明中间的值都取得到。任给 $s \in [2, 22]$ ，取 $x = 3 + 4 - \frac{( s ^{2} - 4 ) ^{2}}{4}$ ，则 $(x - 1) (5 - x) = 4 - (x - 3)^{2} = \frac{( s ^{2} - 4 ) ^{2}}{4}$ ，所以 $2 uv = s^{2} - 4$ ， $(u + v)^{2} = s^{2}$ 。值域是 $[2, 22]$ 。

四、再做一道

例 2：根号外是一次式

求 $f (x) = x + x^{4} - 7 x^{2} - 6 x + 25$ 的值域。

怎么看出来：

根号外的 $x$ 是一次的，根号内的 $x^{4}$ 只能来自另一个平方 $(x^{2} - c)^{2}$ 。减掉它，看余下的是否正好是 $(M - x)^{2}$ 。和步骤相比，第 2 步从平方换成放缩 $A^{2} + B^{2} \geq ∣ A ∣$ 。

解：

$x^{4} - 7 x^{2} - 6 x + 25 - (x^{2} - c)^{2} = (2 c - 7) x^{2} - 6 x + 25 - c^{2}$ 。要等于 $(x - M)^{2}$ ，比较系数得 $2 c - 7 = 1$ ， $c = 4$ ； $2 M = 6$ ， $M = 3$ ；常数 $25 - 16 = 9 = M^{2}$ ，正好相符。所以根号内等于 $(3 - x)^{2} + (x^{2} - 4)^{2}$ ， $f \geq x + ∣3 - x ∣ \geq 3$ 。等号要求 $x^{2} = 4$ 且 $x \leq 3$ ， $x = \pm 2$ 都符合。检查： $f (2) = 2 + 16 - 28 - 12 + 25 = 2 + 1 = 3$ ； $f (- 2) = - 2 + 16 - 28 + 12 + 25 = - 2 + 5 = 3$ 。更高的值：根号内恒为平方和，所以 $f$ 处处有定义、图像连续不断。 $x \geq 2$ 时 $x + ∣3 - x ∣ \geq 2 x - 3$ ，所以 $f (x) \geq 2 x - 3$ ， $x$ 足够大时 $f$ 能超过任何高度。图像从 $f (2) = 3$ 一路走到任意高处，经过中间所有高度，所以 $3$ 以上的值都取得到。

答案：

$[3, + \infty)$ 。

五、容易错在哪

$(M - U)^{2} = ∣ M - U ∣$ ，不能直接写成 $M - U$ 。 $U > M$ 时不取等：例 2 中 $x = 4$ 时 $x + ∣3 - x ∣ = 5$ ，比 $3$ 大。
放缩得到下界后，必须找到同时满足全部等号条件的 $x$ ，才能说这是最小值。
平方求范围时，先确认原式非负，开方后要取非负的那个值。
只算出两端还不够，要写出 $x$ 或说明图像连续不断，中间的值才都取得到。

进阶：怎样拆出平方

根号外是二次式

根号外是 $x^{2}$ 时，写成 $(x^{2} - M)^{2} + (x - p)^{2} = x^{4} + (1 - 2 M) x^{2} - 2 p x + M^{2} + p^{2}$ ，对照根号内的系数解出 $M, p$ 。根号外是一次式 $x$ 时， $x^{4}$ 只能来自 $V = x^{2} - c$ ，写成 $(M - x)^{2} + (x^{2} - c)^{2}$ ，做法见例 2。

$x^{4}$ 的系数是 $2$

这时拆成两个二次式的平方和，其中一个和根号外的式子配合。看 $f (x) = x^{2} + 2 x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 1$ 。根号外是 $x^{2}$ ，先减去 $(x^{2} - M)^{2}$ ：余下 $x^{4} - 4 x^{3} + (2 + 2 M) x^{2} + 1 - M^{2}$ 。它要等于 $(x^{2} + c x + d)^{2} = x^{4} + 2 c x^{3} + (c^{2} + 2 d) x^{2} + 2 c d x + d^{2}$ 。比较 $x^{3}$ 项得 $c = - 2$ ；比较 $x$ 项得 $2 c d = 0$ ，所以 $d = 0$ ；比较 $x^{2}$ 项得 $4 = 2 + 2 M$ ，所以 $M = 1$ ；常数项 $1 - M^{2} = 0 = d^{2}$ ，正好相符。于是根号内等于 $(1 - x^{2})^{2} + (x^{2} - 2 x)^{2}$ ， $f \geq x^{2} + ∣1 - x^{2} ∣ \geq 1$ 。等号要求 $x^{2} - 2 x = 0$ 且 $x^{2} \leq 1$ ，所以 $x = 0$ ， $f (0) = 0 + 1 = 1$ ，最小值是 $1$ 。

例 3：两个变量，拆成和与差的平方

实数 $x, y$ 变化时，求 $f = x + y + 2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x - 8 y + 16$ 的最小值，并说明何时取到。

怎么看出来：

根号内 $x^{2}, y^{2}$ 的系数都是 $2$ ，而 $(x + y)^{2} + (x - y)^{2} = 2 x^{2} + 2 y^{2}$ ，所以拆成和与差的两个平方。根号外正好是 $x + y$ 。

解：

设 $U = x + y$ 。根号内等于 $(4 - U)^{2} + (x - y)^{2}$ ，这可以展开验证： $16 - 8 x - 8 y + (x + y)^{2} + (x - y)^{2}$ 。所以 $f \geq U + ∣4 - U ∣ \geq 4$ 。等号要求 $x = y$ 且 $U \leq 4$ ，即 $x = y \leq 2$ 。检查： $x = y = 1$ 时 $f = 2 + 4 = 4$ ； $x = y = 3$ 时 $U = 6 > 4$ ， $f = 6 + 2 = 8$ ，不是最小值。

答案：

最小值是 $4$ ，当且仅当 $x = y \leq 2$ 时取到。

进阶：系数不同的根式和

系数不同：先证柯西不等式

展开就能核对恒等式 $(p^{2} + q^{2}) (u^{2} + v^{2}) - (p u + q v)^{2} = (p v - q u)^{2} \geq 0$ 。所以 $(p u + q v)^{2} \leq (p^{2} + q^{2}) (u^{2} + v^{2})$ ，这叫柯西不等式；右边的平方为零时取等号，即 $p v = q u$ 。求 $u + 2 v$ ，其中 $u = x - 1, v = 6 - x$ ， $u^{2} + v^{2} = 5$ 。取 $p = 1, q = 2$ ，得 $(u + 2 v)^{2} \leq 5 \cdot 5 = 25$ ，所以 $u + 2 v \leq 5$ ，等号在 $v = 2 u$ ，即 $u = 1, v = 2, x = 2$ 。下界：因为 $u, v \geq 0$ ， $(u + 2 v)^{2} = u^{2} + 4 uv + 4 v^{2} \geq u^{2} + v^{2} = 5$ ，等号在 $v = 0$ ，即 $x = 6$ 。式子在 $[1, 6]$ 上连续不断，所以值域是 $[5, 5]$ 。

进阶：距离和 · 先修：平面直角坐标、两点间距离公式

平方和开根号就是距离

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ 是点 $(x, y)$ 到点 $(a, b)$ 的距离。两个这样的根式之和，可以看成动点到两个定点的距离和。两定点在直线同侧时，把其中一个按直线对称过去，距离和最小值就是连线长度，因为两点之间线段最短；两定点在异侧时，直接连线，不用对称。

例 4：距离和，先配方

求 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2 + x^{2} - 8 x + 25$ 的值域。

怎么看出来：

配方后， $(x - 1)^{2} + 1 + (x - 4)^{2} + 9$ 正好是 $P (x, 0)$ 到 $A (1, 1)$ 、 $B (4, 3)$ 的距离。

解：

$A, B$ 都在 $x$ 轴上方。 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点是 $A^{'} (1, - 1)$ ， $∣ P A ∣ = ∣ P A^{'} ∣$ ，所以 $f = ∣ P A^{'} ∣ + ∣ PB ∣ \geq ∣ A^{'} B ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$ 。等号在 $P$ 为线段 $A^{'} B$ 与 $x$ 轴的交点：直线 $y = - 1 + \frac{4}{3} (x - 1)$ 交 $x$ 轴于 $x = \frac{7}{4}$ 。检查： $f (\frac{7}{4}) = \frac{5}{4} + \frac{15}{4} = 5$ 。 $f$ 的图像连续不断，又 $f (x) \geq (x - 1)^{2} = ∣ x - 1∣$ ， $x$ 足够大时能超过任何高度，所以 $5$ 以上的值都取得到。

答案：

$[5, + \infty)$ 。

进阶：顶点不在范围内

先配方，再看顶点在不在范围内

二次式先配方找顶点， $x^{2} - 4 x + 7 = (x - 2)^{2} + 3$ 。如果 $x$ 只能在 $[3, 5]$ 中，顶点 $x = 2$ 不在其中，最小值就不是 $3$ ，而是 $x = 3$ 时的 $4$ 。根号里的式子也一样，所以 $x^{2} - 4 x + 7$ 在 $[3, 5]$ 上的最小值是 $2$ ；若允许所有实数，才在 $x = 2$ 取到 $3$ 。

真题

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圆或椭圆上求一次式的范围：配成圆，用平方恒等式

把条件配成圆 $X^{2} + Y^{2} = R^{2}$ ，平方恒等式直接给出 $a X + bY$ 的上下界 $\pm R a^{2} + b^{2}$ 。只要圆缺了一部分，就要检查取等的点还在不在。

完整讲解 · 例题 · 可练 19 题

一、是什么

基本结论和原因

展开就能核对恒等式 $(a X + bY)^{2} + (b X - aY)^{2} = (a^{2} + b^{2}) (X^{2} + Y^{2})$ 。第 2 个平方非负，所以 $X^{2} + Y^{2} = R^{2}$ 时， $(a X + bY)^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) R^{2}$ ，即 $- R a^{2} + b^{2} \leq a X + bY \leq R a^{2} + b^{2}$ 。等号在 $b X - aY = 0$ 时成立。例如 $X^{2} + Y^{2} = 4$ 时， $(3 X + 4 Y)^{2} + (4 X - 3 Y)^{2} = 25 \cdot 4 = 100$ ，所以 $3 X + 4 Y \leq 10$ ，再由 $4 X = 3 Y$ 得 $(X, Y) = (\frac{6}{5}, \frac{8}{5})$ 时取到。

配方成圆，缩放成圆

$x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 6 = 0$ 配方得 $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ ，设 $X = x - 3, Y = y + 1$ 。椭圆先缩放： $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 设 $x = 2 X$ ，就是 $X^{2} + y^{2} = 1$ ，目标 $x + y = 2 X + y$ 的绝对值不超过 $5$ 。

根式代表半圆

$y = 2 x - x^{2}$ 平方后是 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，但必须 $y \geq 0$ ，只有上半圆。如果取等的点在下半圆，这个界就取不到，要看半圆的端点。例如 $X^{2} + Y^{2} = 1, Y \geq 0$ 时， $X - Y$ 的最大值不是 $2$ （它的取等点 $(\frac{2}{2}, - \frac{2}{2})$ 在下半圆）。这时 $X \leq 1, Y \geq 0$ ，所以 $X - Y \leq 1$ ，端点 $(1, 0)$ 取到 $1$ ；最小值 $- 2$ 在 $(- \frac{2}{2}, \frac{2}{2})$ ，可以取到。

先看一道例题

例 1：圆弧两端取不到

实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 4, x > 0, y > - 1$ ，求 $x + 3 y$ 的取值范围。

怎么看出来：

条件已经是圆，只是多了两个开条件，圆缺了一部分。先用恒等式求上界，检查取等点；再看目标在这段圆弧上能小到什么程度。

解：

上界： $(x + 3 y)^{2} + (3 x - y)^{2} = 4 (x^{2} + y^{2}) = 16$ ，所以 $x + 3 y \leq 4$ ，等号在 $3 x = y$ ，即 $(x, y) = (1, 3)$ ，满足条件，目标为 $1 + 3 = 4$ 。下界： $y \geq 0$ 时，因为 $x > 0$ ，目标为正。 $- 1 < y < 0$ 时， $y^{2} < 1$ ，所以 $x^{2} = 4 - y^{2} > 3 y^{2}$ ；又 $x > 0$ ，所以 $x > - 3 y$ ，目标也为正。中间的值：任给 $w \in (0, 4]$ ，设 $r = 16 - w^{2}$ ，取 $x = \frac{w + 3 r}{4}, y = \frac{3 w - r}{4}$ 。代入得 $x + 3 y = w$ ， $x^{2} + y^{2} = \frac{w ^{2} + r ^{2}}{4} = 4$ 。 $w > 0$ 时 $x > 0$ ； $r < 4$ ，所以 $y > - 1$ 。条件都满足， $w$ 可以任意接近 $0$ ，但目标恒正，所以 $0$ 取不到。检查：端点 $(3, - 1)$ 给出 $3 - 3 = 0$ ，它不满足 $y > - 1$ 。

答案：

$(0, 4]$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
条件配方后是 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ ，目标是 $x, y$ 的一次式	平移后用平方恒等式，直接写出两端
$x$ 与 $a x - x^{2}$ 同时出现，或圆上有 $x > 0$ 这样的附加条件	圆缺了一部分，检查取等点在不在
$x - a$ 与 $b - x$ 系数不同	它们是四分之一圆的坐标（见进阶“四分之一圆”）
3 个变量，固定其中 1 个后余下的是圆盘	半径用固定的变量表示，上下界分别求（见进阶“半径随变量变化”）
目标是 $\frac{y - b}{x - a}$	看成斜率，用圆的切线（见进阶“斜率与切线”）
椭圆上的绝对值之和，或条件含 $x y$	先定符号，或消去 $x y$ （见进阶“椭圆与斜椭圆”）

三、怎么用

配方，写成圆，写清附加条件。例如 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0, y \geq 0$ ，设 $X = x - 1, Y = y$ ，得 $X^{2} + Y^{2} = 4, Y \geq 0$ 。
把目标写成 $X, Y$ 的一次式加常数。求 $x + y$ ，就是 $X + Y + 1$ 。
用恒等式得到界，算出取等的点。 $(X + Y)^{2} + (X - Y)^{2} = 2 (X^{2} + Y^{2}) = 8$ ，所以 $∣ X + Y ∣ \leq 22$ ，等号在 $X = Y$ 。
检查取等的点是否满足全部条件；不满足就改看端点。 $X = Y = 2$ 满足 $Y \geq 0$ ，上界可取； $X = Y = - 2$ 不满足。这时由 $Y \geq 0, X \geq - 2$ 得 $X + Y \geq - 2$ ，端点 $(- 2, 0)$ 取到。
说明中间的值都取得到。任给 $w \in [- 2, 22]$ ，设 $r = 8 - w^{2}$ ，取 $X = \frac{w - r}{2}, Y = \frac{w + r}{2}$ ，则 $X + Y = w$ ， $X^{2} + Y^{2} = \frac{w ^{2} + r ^{2}}{2} = 4$ 。 $w \geq 0$ 时 $Y \geq 0$ ； $- 2 \leq w < 0$ 时 $r^{2} \geq 4 \geq w^{2}$ ，也有 $Y \geq 0$ 。所以 $x + y$ 的范围是 $[- 1, 1 + 22]$ 。

四、再做一道

例 2：目标是二次式，用条件化成一次

实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 6 = 0$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的取值范围。

怎么看出来：

条件直接给出 $x^{2} + y^{2} = 6 x - 2 y - 6$ ，目标其实是圆上的一次式。

解：

配方得 $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ 。设 $X = x - 3, Y = y + 1$ ，则 $x^{2} + y^{2} = 6 x - 2 y - 6 = 6 X - 2 Y + 14$ 。恒等式： $(6 X - 2 Y)^{2} + (2 X + 6 Y)^{2} = 40 (X^{2} + Y^{2}) = 160$ ，所以 $∣6 X - 2 Y ∣ \leq 410$ 。中间的值：任给 $w \in [- 410, 410]$ ，设 $r = 160 - w^{2}$ ，取 $X = \frac{6 w + 2 r}{40}, Y = \frac{- 2 w + 6 r}{40}$ ，则 $6 X - 2 Y = w$ ， $X^{2} + Y^{2} = \frac{40 ( w ^{2} + r ^{2} )}{1600} = 4$ 。两端和中间都取得到。检查：这也等于圆心到原点距离 $10$ 加减半径 $2$ 后的平方， $(10 \pm 2)^{2} = 14 \pm 410$ 。

答案：

$[14 - 410, 14 + 410]$ 。

五、容易错在哪

有 $y \geq 0$ 这样的附加条件时，不能直接写出整个圆的两端。最大值、最小值都要把取等点代回条件检查。
开条件的端点取不到，但目标值可以任意接近它。答案要写开端点，例 1 的 $0$ 就是这样。
上界和下界要分别处理，一个取到了不代表另一个也取到。

进阶：椭圆与斜椭圆

椭圆里的绝对值：先定符号

$\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 时， $x + y$ 与 $x - y$ 的绝对值都不超过 $5$ ，所以 $∣ x + y - 5∣ + ∣ x - y + 5∣ = (5 - x - y) + (x - y + 5) = 10 - 2 y$ ，值域是 $[8, 12]$ 。

斜椭圆：消去 $x y$ 再缩放

$x^{2} - x y + y^{2} = 3$ ，求 $x + 2 y$ 的范围。设 $u = x + y, v = x - y$ ，条件化成 $\frac{u ^{2}}{4} + \frac{3 v ^{2}}{4} = 3$ 。再设 $U = \frac{u}{2}, V = \frac{3 v}{2}$ ，就是 $U^{2} + V^{2} = 3$ 。目标 $x + 2 y = \frac{3 u - v}{2} = 3 U - \frac{V}{3}$ 。这里 $a^{2} + b^{2} = 9 + \frac{1}{3} = \frac{28}{3}$ ，所以 $(x + 2 y)^{2} \leq \frac{28}{3} \cdot 3 = 28$ 。 $(x, y) = (\frac{4}{7}, \frac{5}{7})$ 满足条件，目标为 $27$ ；取相反数的点目标为 $- 27$ 。范围的两端是 $\pm 27$ 。

进阶：四分之一圆

两个根式代表四分之一圆

$x - 1 + 8 - 2 x$ 中设 $u = x - 1, w = 4 - x$ ，则 $u^{2} + w^{2} = 3$ ， $u, w \geq 0$ ，目标是 $u + 2 w$ 。恒等式 $(u + 2 w)^{2} + (2 u - w)^{2} = 3 (u^{2} + w^{2}) = 9$ 给出 $u + 2 w \leq 3$ ，等号在 $w = 2 u$ ，即 $u = 1, w = 2, x = 2$ 。下界： $u w \geq 0$ ，所以 $(u + 2 w)^{2} = u^{2} + 2 w^{2} + 22 u w \geq u^{2} + w^{2} = 3$ ，等号在 $w = 0$ ，即 $x = 4$ ，此时值为 $3$ 。式子在 $[1, 4]$ 上连续不断，所以值域是 $[3, 3]$ 。

进阶：半径随变量变化

多了一个变量：先固定它

如果条件里还有一个变量，固定它之后余下的是圆盘，半径随它变化。例如 $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1$ 中固定 $x$ ，则 $y^{2} + z^{2} \leq 1 - x^{2}$ ，半径是 $r = 1 - x^{2}$ ，不是 $1$ 。圆盘上一次式的范围是 $\pm r a^{2} + b^{2}$ ，这样目标就只剩 $r$ 。上界和下界是 $r$ 的两个不同函数，要分别求。

例 3：半径随变量变化

实数 $x, y, z$ 满足 $x^{2} + y^{2} \leq z \leq 2$ ，求 $x + y + z$ 的取值范围。

怎么看出来：

固定 $z$ 后， $(x, y)$ 在半径 $z$ 的圆盘内， $x + y$ 是圆盘上的一次式。半径随 $z$ 变化。

解：

由条件知 $0 \leq z \leq 2$ 。设 $w = z \in [0, 2]$ ，则 $x^{2} + y^{2} \leq w^{2}$ ，由恒等式 $(x + y)^{2} + (x - y)^{2} = 2 (x^{2} + y^{2})$ 得 $- 2 w \leq x + y \leq 2 w$ ，两端都取得到。上界： $w^{2} + 2 w$ 递增，最大值在 $w = 2$ ，等于 $4$ 。下界： $w^{2} - 2 w = (w - \frac{2}{2})^{2} - \frac{1}{2}$ ，最小值 $- \frac{1}{2}$ 在 $w = \frac{2}{2}$ 。检查： $x = y = 1, z = 2$ 时 $1 + 1 \leq 2$ ，和为 $4$ ； $x = y = - \frac{1}{2}, z = \frac{1}{2}$ 时 $\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}$ ，和为 $- \frac{1}{2}$ 。中间的值：任给 $c \in [- \frac{1}{2}, 4]$ ，取 $x = y = t = \frac{- 1 + 1 + 2 c}{2} \in [- \frac{1}{2}, 1]$ ， $z = 2 t^{2} \leq 2$ ，则 $x + y + z = 2 t^{2} + 2 t = c$ 。

答案：

$[- \frac{1}{2}, 4]$ 。

进阶：角度与辅助角 · 先修：三角函数、弧度、辅助角公式

用角度写圆

$X^{2} + Y^{2} = R^{2}$ 也可以写 $X = R cos θ, Y = R sin θ$ 。辅助角把两个三角项合成一个： $a, b$ 不全为零时， $a cos θ + b sin θ = a^{2} + b^{2} cos (θ - φ)$ ，其中 $cos φ = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}, sin φ = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}$ 。例 1 用角度写： $x = 2 cos θ, y = 2 sin θ$ ，由 $x > 0, y > - 1$ 得 $- \frac{π}{6} < θ < \frac{π}{2}$ ， $x + 3 y = 4 cos (θ - \frac{π}{3})$ ，其中 $θ - \frac{π}{3} \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ ，同样得到 $(0, 4]$ 。

进阶：斜率与切线 · 先修：直线方程、点到直线的距离

分式可以看成斜率

$\frac{Y}{X + 3}$ 是点 $(X, Y)$ 与点 $(- 3, 0)$ 连线的斜率，可以用切线求范围。切线的斜率由“圆心到直线的距离等于半径”列方程解出，再检查切点在不在允许的弧上。

例 4：分式看成斜率

实数 $x, y$ 满足 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 1, y \geq 0$ ，求 $\frac{y + 1}{x + 1}$ 的取值范围。

怎么看出来：

这是上半圆上的点到点 $(- 1, - 1)$ 连线的斜率。

解：

过 $(- 1, - 1)$ 的直线 $y + 1 = k (x + 1)$ 与圆相切时，圆心 $(2, 0)$ 到直线的距离为 $1$ ： $\frac{∣3 k - 1∣}{k ^{2} + 1} = 1$ ，得 $k = 0$ 或 $k = \frac{3}{4}$ 。 $k = \frac{3}{4}$ 的切点是 $(\frac{7}{5}, \frac{4}{5})$ ，在上半圆，所以最大值是 $\frac{3}{4}$ 。 $k = 0$ 的切点是 $(2, - 1)$ ，在下半圆，这个界取不到，要看半圆端点： $(3, 0)$ 时为 $\frac{1}{4}$ ， $(1, 0)$ 时为 $\frac{1}{2}$ ，所以最小值是 $\frac{1}{4}$ 。点沿上半圆走时斜率连续变化，中间的值都取得到。检查： $(\frac{7}{5}, \frac{4}{5})$ 时 $\frac{9/5}{12/5} = \frac{3}{4}$ 。

答案：

$[\frac{1}{4}, \frac{3}{4}]$ 。

进阶：向量夹角 · 先修：向量夹角

分式可以看成夹角

$\frac{x + 3 y}{x ^{2} + y ^{2}}$ 是 $2 cos φ$ ，其中 $φ$ 是向量 $(x, y)$ 与 $(1, 3)$ 的夹角。所以先看点所在区域能张开多大的角。例如点在第一象限（含坐标轴，不含原点）时，向量的方向角从 $0^{\circ}$ 到 $9 0^{\circ}$ ， $(1, 3)$ 的方向角是 $6 0^{\circ}$ ，所以 $φ$ 从 $0^{\circ}$ 到 $6 0^{\circ}$ ， $2 cos φ \in [1, 2]$ 。检查： $(1, 0)$ 给出 $1$ ， $(0, 1)$ 给出 $3$ ， $(1, 3)$ 给出 $2$ 。

真题

按这个方法练 · 19 题

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绝对值、max/min 求值域：找切换点分段，再合并

绝对值和 max、min 只在少数几个点改变写法。在这些点切开，每段都是普通函数，分别求值域，再取并集。

完整讲解 · 例题 · 可练 30 题

一、是什么

切换点在哪里

$∣ x - a ∣$ 的切换点是 $x = a$ 。 $max {A, B}$ 表示 $A, B$ 中较大的那个， $min {A, B}$ 表示较小的那个，它们的切换点是 $A = B$ 。例如 $max {x + 1, 3 - x}$ 在 $x = 1$ 切换， $x \geq 1$ 时等于 $x + 1$ ， $x < 1$ 时等于 $3 - x$ ，最小值是 $2$ 。

每一段里求值域

写出每段的表达式，用增减或配方求范围，开端点不算进去。例如 $\frac{∣ x - 1∣}{∣ x ∣ + 1}$ 在 $0 \leq x < 1$ 时等于 $\frac{1 - x}{1 + x}$ ，范围是 $(0, 1]$ 。相邻两段的式子在切换点算出的值要相同，这是检查公式的好办法。

多个绝对值之和：最小值在哪里

系数都是 $1$ 时配对： $∣ x - 1∣ + ∣ x - 2∣ + ∣ x - 6∣$ 中， $∣ x - 1∣ + ∣ x - 6∣ \geq 5$ （ $x$ 在 $1, 6$ 之间取等）， $∣ x - 2∣ \geq 0$ （ $x = 2$ 取等）。两个等号能同时成立，最小值是 $5$ ，在中间的数 $x = 2$ 取到，这个数叫中位数。系数不同时写出每段的一次式： $∣ x - 1∣ + ∣2 x - 6∣$ 在 $x < 1$ 时是 $7 - 3 x$ ， $1 \leq x < 3$ 时是 $5 - x$ ， $x \geq 3$ 时是 $3 x - 7$ 。一次式中 $x$ 的系数为正就随 $x$ 增大，为负就减小，为零就不变。这里系数依次是 $- 3, - 1, 3$ ，由负变正的地方 $x = 3$ 就是最小值点，最小值是 $2$ 。

先看一道例题

例 1：分子分母各有切换点

求 $f (x) = \frac{∣ x - 1∣}{∣ x ∣ + 1}$ 的值域。

怎么看出来：

分子在 $x = 1$ 切换，分母在 $x = 0$ 切换，所以切成 3 段，每段都是简单的分式。

解：

$x < 0$ 时， $f = \frac{1 - x}{1 - x} = 1$ 。 $0 \leq x < 1$ 时， $f = \frac{1 - x}{1 + x} = - 1 + \frac{2}{1 + x}$ ， $x$ 越大 $\frac{2}{1 + x}$ 越小，所以递减。 $x = 0$ 时为 $1$ ， $x$ 靠近 $1$ 时靠近 $0$ ；任给 $y \in (0, 1]$ ，取 $x = \frac{1 - y}{1 + y}$ ，就有 $f (x) = y$ ，所以范围是 $(0, 1]$ 。 $x \geq 1$ 时， $f = \frac{x - 1}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ，递增， $x = 1$ 时为 $0$ ，函数值都小于 $1$ ；任给 $y \in [0, 1)$ ，取 $x = \frac{1 + y}{1 - y}$ ，就有 $f (x) = y$ ，所以范围是 $[0, 1)$ 。并集是 $[0, 1]$ 。检查： $x = 1$ 时 $f = 0$ ； $x = - 3$ 时 $f = \frac{4}{4} = 1$ ； $x = 3$ 时 $f = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 。

答案：

$[0, 1]$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
几个 $∣ x - a ∣$ 相加	系数相同用中位数，系数不同写出每段的一次式
分式的分子、分母都有绝对值	把所有零点都切开，每段写成不含绝对值的分式
$max {A, B}$ 或 $min {A, B}$	解 $A = B$ ，切开后每段只留一个式子
$x ∣ x ∣$ 这样带符号的平方	按各变量的正负分象限（见进阶“带符号的平方”）
对参数 $t$ 取最大值，式子对 $t$ 是一次的	只需比较两个端点的值（见进阶“对参数取最大”）
对任意 $x_{1}, x_{2}$ 都有 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$	最值存在时比较 $f$ 的最大值和 $g$ 的最小值（见进阶“任意两个自变量”）

三、怎么用

找出所有切换点，把数轴切开。例如 $f (x) = ∣ x ∣ + ∣ x - 2∣$ ，切换点是 $0, 2$ ，切成 $3$ 段。
在每一段写出不含绝对值的表达式，核对符号。 $x < 0$ 时 $f = 2 - 2 x$ ； $0 \leq x < 2$ 时 $f = 2$ ； $x \geq 2$ 时 $f = 2 x - 2$ 。
求每段的准确范围，开端点不算进去。第 1 段是 $(2, + \infty)$ ，第 2 段是 ${2}$ ，第 3 段是 $[2, + \infty)$ 。第 3 段里任给 $y \geq 2$ ，取 $x = \frac{y + 2}{2}$ ，就有 $f (x) = y$ 。
检查相邻两段的式子在切换点的值相同。 $x = 0$ 时 $2 - 0 = 2$ ； $x = 2$ 时 $2 = 2 \cdot 2 - 2$ 。
取并集，注意一段的开端点可能被另一段取到。第 1 段取不到的 $2$ ，第 2 段取到了。值域是 $[2, + \infty)$ 。

四、再做一道

例 2：系数不同的绝对值和

求 $f (x) = ∣ x - 1∣ + ∣2 x - 3∣ + ∣3 x - 6∣$ 的最小值，并写出取到最小值的全部 $x$ 。

怎么看出来：

系数不全是 $1$ ，配对不方便。和步骤一样切开，写出每段的一次式，看 $x$ 的系数怎样变化。

解：

切换点是 $1, \frac{3}{2}, 2$ 。 $x < 1$ 时 $f = (1 - x) + (3 - 2 x) + (6 - 3 x) = 10 - 6 x$ 。 $1 \leq x < \frac{3}{2}$ 时 $f = (x - 1) + (3 - 2 x) + (6 - 3 x) = 8 - 4 x$ 。 $\frac{3}{2} \leq x < 2$ 时 $f = (x - 1) + (2 x - 3) + (6 - 3 x) = 2$ 。 $x \geq 2$ 时 $f = (x - 1) + (2 x - 3) + (3 x - 6) = 6 x - 10$ 。 $x$ 的系数依次是 $- 6, - 4, 0, 6$ ，所以 $f$ 先减、再不变、后增，最小值在中间那段 $[\frac{3}{2}, 2]$ 上取到。检查： $f (\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} + 0 + \frac{3}{2} = 2$ ， $f (2) = 1 + 1 + 0 = 2$ ， $f (1) = 0 + 1 + 3 = 4$ 。

答案：

最小值是 $2$ ，在 $\frac{3}{2} \leq x \leq 2$ 时取到。

五、容易错在哪

不要漏掉负号那一段。 $∣ x ∣$ 在 $x < 0$ 时是 $- x$ ，不是 $x$ 。
每段只比较一个端点不够，要看最大值和最小值是否落在段内，还要比较两端。
并集时要逐个看开闭：一段取不到的端点，另一段可能取到，例如例 1 中 $x \geq 1$ 这段取不到 $1$ ，而 $x < 0$ 这段恒等于 $1$ 。

进阶：偶函数

偶函数可以只算一半

偶函数（ $f (- x) = f (x)$ ）可以只算 $x \geq 0$ ，但这一半内部的切换点仍要切开： $∣ x + 1∣ + ∣ x - 1∣$ 在 $0 \leq x \leq 1$ 时等于 $2$ ，在 $x \geq 1$ 时等于 $2 x$ ，值域是 $[2, + \infty)$ 。

进阶：绝对值与半圆 · 先修：三角函数、辅助角公式

含绝对值和半圆

绝对值与 $1 - x^{2}$ 同时出现，先按绝对值切成两段，每段都是半圆的一段圆弧上的一次式。由恒等式 $(a X + bY)^{2} + (b X - aY)^{2} = (a^{2} + b^{2}) (X^{2} + Y^{2})$ 得上下界，也可以用角度。要注意取等的点是否落在这一段内。

例 3：绝对值加半圆

求 $f (x) = ∣2 x - 1∣ + 1 - x^{2}$ 的值域。

怎么看出来：

$x = \frac{1}{2}$ 处切开，每段都是圆弧上的一次式。两段的取等点都要检查是否落在本段内。

解：

设 $x = cos θ, 1 - x^{2} = sin θ$ ， $θ \in [0, π]$ 。当 $x \geq \frac{1}{2}$ 时， $f = 2 x + sin θ - 1$ ， $2 cos θ + sin θ \leq 5$ ，取等点 $x = \frac{2}{5} \geq \frac{1}{2}$ ，最大值 $5 - 1$ 。这一段 $θ \in [0, \frac{π}{3}]$ ， $2 cos θ + sin θ$ 先增后减，比较两端： $x = 1$ 时 $f = 1$ ， $x = \frac{1}{2}$ 时 $f = \frac{3}{2}$ 。当 $x < \frac{1}{2}$ 时， $f = 1 - 2 cos θ + sin θ$ ， $- 2 cos θ + sin θ \leq 5$ ，取等点 $x = - \frac{2}{5} < \frac{1}{2}$ ，最大值 $1 + 5$ 。这一段 $θ \in (\frac{π}{3}, π]$ ， $f$ 先增后减，比较两端： $x \to \frac{1}{2}$ 时 $f \to \frac{3}{2}$ ， $x = - 1$ 时 $f = 3$ 。整体最小值是 $\frac{3}{2}$ ，最大值是 $1 + 5$ ， $f$ 连续。检查： $x = - \frac{2}{5}$ 时 $f = \frac{4}{5} + 1 + \frac{1}{5} = 1 + 5$ 。

答案：

$[\frac{3}{2}, 1 + 5]$ 。

进阶：带符号的平方

带符号的平方

$x ∣ x ∣$ 在 $x \geq 0$ 时是 $x^{2}$ ， $x < 0$ 时是 $- x^{2}$ ，它可以是负数，不要写成 $x^{2}$ 。条件里有它时，按变量的正负分象限，每个象限是圆或双曲线。

例 4：带符号的平方

实数 $x, y$ 满足 $x ∣ x ∣ + y ∣ y ∣ = 1$ ，求 $x + y$ 的取值范围。

怎么看出来：

$x ∣ x ∣$ 随 $x$ 的正负改变写法，所以按象限分类，每类都是熟悉的曲线。

解：

$x \geq 0, y \geq 0$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ ，四分之一圆。 $(x + y)^{2} = 1 + 2 x y$ ， $x y \geq 0$ ，又 $2 x y \leq x^{2} + y^{2} = 1$ ，所以 $x + y \in [1, 2]$ 。 $x < 0, y > 0$ ： $y^{2} - x^{2} = 1$ ，设 $t = - x > 0$ ， $x + y = y - t = \frac{y ^{2} - t ^{2}}{y + t} = \frac{1}{y + t}$ 。 $y + t > 1$ ，所以值在 $(0, 1)$ 内；任给 $c \in (0, 1)$ ，取 $t = \frac{1}{2} (\frac{1}{c} - c) > 0, y = \frac{1}{2} (\frac{1}{c} + c)$ ，则 $y^{2} - t^{2} = 1$ ， $y - t = c$ 。范围是 $(0, 1)$ 。 $x > 0, y < 0$ ：把 $x, y$ 对调，条件和目标都不变，所以范围也是 $(0, 1)$ 。 $x < 0, y < 0$ ： $- x^{2} - y^{2} = 1$ ，不可能。并集是 $(0, 2]$ ； $0$ 取不到，因为分子是 $1$ 。

答案：

$(0, 2]$ 。

进阶：对参数取最大

对 $t$ 取最大的函数

$g (a) = max_{- 1 \leq t \leq 1} ∣ a t + 1 - a ∣$ 表示：固定 $a$ ，让 $t$ 在 $[- 1, 1]$ 中变，取 $∣ a t + 1 - a ∣$ 的最大值。 $a t + 1 - a$ 对 $t$ 是一次的，绝对值的图像是 V 形，最大值一定在端点 $t = \pm 1$ 。 $t = 1$ 时为 $1$ ， $t = - 1$ 时为 $∣1 - 2 a ∣$ ，所以 $g (a) = max {1, ∣1 - 2 a ∣}$ ，最小值是 $1$ ，在 $0 \leq a \leq 1$ 时取到。

进阶：任意两个自变量

“任意 $x_{1}, x_{2}$ ”的条件

$f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 对任意 $x_{1}, x_{2}$ 成立，当这两个最值都存在时，就是 $f$ 的最大值不超过 $g$ 的最小值；不存在时要比较准确的上下边界，并单独判断等号。例如 $f (x) = - x^{2} + 2 x$ 最大值是 $1$ ， $g (x) = ∣ x - k ∣ + ∣ x + 1∣$ 最小值是 $∣ k + 1∣$ ，所以 $∣ k + 1∣ \geq 1$ ， $k \geq 0$ 或 $k \leq - 2$ 。

进阶：分子分母都含 max、min

分母为负时，比较方向相反

分母为负时，分子越大商越小。例如 $\frac{- 4}{- 1} = 4$ ， $\frac{- 3}{- 1} = 3$ ，分子从 $- 4$ 增大到 $- 3$ ，商从 $4$ 减小到 $3$ 。因此当分母 $D < 0$ 时， $\frac{A}{D} \geq k$ 等价于 $A \leq k D$ 。

把分支列全

分子、分母各有切换点时，把所有切换点放在一起切开，段数是切换点个数加 $1$ 。例如 $\frac{max { x , 1 }}{min { x , - 1 }}$ ，分子在 $x = 1$ 切换，分母在 $x = - 1$ 切换，共 $3$ 段。 $x \geq 1$ 时等于 $- x$ ，范围 $(- \infty, - 1]$ ； $- 1 \leq x < 1$ 时等于 $- 1$ ； $x < - 1$ 时等于 $\frac{1}{x}$ ，范围 $(- 1, 0)$ 。分母恒为负，并集是 $(- \infty, 0)$ 。

真题

按这个方法练 · 30 题

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多个变量求范围：消到一个变量，再证明每个值都取得到

用条件把目标写成一个主变量的函数。主变量的范围不能猜，要用“其余变量必须存在”这件事求出来。

完整讲解 · 例题 · 可练 42 题

一、是什么

为什么要证明“取得到”

设实数 $u, v$ 满足 $u + v = 4$ ，只看 $uv = s$ ，好像 $s$ 可以取任意数。其实 $u, v$ 是方程 $t^{2} - 4 t + s = 0$ 的实根，要有 $16 - 4 s \geq 0$ ，所以 $s \leq 4$ 。反过来，任何 $s \leq 4$ 都能由 $u, v = 2 \pm 4 - s$ 实现：两数之和是 $4$ ，积是 $4 - (4 - s) = s$ 。两个方向都说清，范围才算对。

和与积：判别式就是存在条件

实数 $u, v$ 满足 $u + v = S, uv = P$ ，当且仅当 $S^{2} \geq 4 P$ 。一方面 $(u - v)^{2} = S^{2} - 4 P \geq 0$ ；另一方面， $S^{2} \geq 4 P$ 时方程 $t^{2} - St + P = 0$ 有实根，两个根就是所要的 $u, v$ 。

先看一道例题

例 1：和已知，求平方和

实数 $u, v$ 满足 $u + v = 6$ ，求 $u^{2} + v^{2}$ 的取值范围。

怎么看出来：

和已知，平方和可以用积表示。积的范围由“ $u, v$ 是实数”决定。

解：

设 $p = uv$ 。 $u, v$ 是实数当且仅当 $36 - 4 p \geq 0$ ，所以 $p \leq 9$ 。目标 $u^{2} + v^{2} = (u + v)^{2} - 2 uv = 36 - 2 p \geq 18$ 。每个值都取得到：任给 $w \geq 18$ ，取 $p = \frac{36 - w}{2} \leq 9$ ， $u, v = 3 \pm 9 - p$ ，则 $u^{2} + v^{2} = w$ 。检查： $u = v = 3$ 时和为 $6$ ，平方和为 $18$ 。

答案：

$[18, + \infty)$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
多个变量只通过和、积、平方和出现	设主变量，其余用和与积表示，再用判别式
二次条件求 $x^{2} + y^{2}$	用 $s = x + y$ 表示 $x y$ 和目标，或用 $∣ x y ∣ \leq \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2}$
$sin y$ 、 $cos y$ 或 $e^{y}$ 与其他变量同在一个条件里	用它们的值域（ $[- 1, 1]$ 或正数）限制主变量（见进阶“三角与指数”）
分式的分子分母不超过二次，分母恒正	写成关于 $x$ 的方程，用判别式求 $y$ （见进阶“判别式法”）
$ab + b c + c a$ ，已知 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$	用 $(a + b + c)^{2} \geq 0$ 和 $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + b c + c a$ （见进阶“三个变量”）
若干直线围成区域，固定 $x$ 后目标对 $y$ 单调	固定 $x$ ，把 $y$ 推到边界，边界变化处分段（见进阶“推到边界”）

三、怎么用

选主变量，把目标和其他变量的和、积都用它表示。例如 $x + y = 2$ ，求 $x y$ 的范围：设 $p = x y$ ，目标就是 $p$ 。
写出其他变量存在的条件。 $x, y$ 是方程 $t^{2} - 2 t + p = 0$ 的实根，要有 $4 - 4 p \geq 0$ ，所以 $p \leq 1$ 。
反过来说明：范围内每个主变量都能重建全部原变量。任给 $p \leq 1$ ，取 $x, y = 1 \pm 1 - p$ ，和是 $2$ ，积是 $1 - (1 - p) = p$ 。
在主变量范围上求目标的值域。这里目标就是 $p$ ，范围是 $(- \infty, 1]$ 。目标是 $p$ 的函数时，配方或分段再求。
挑极值点，写出全部原变量的值，代回条件检查。 $p = 1$ 时 $x = y = 1$ ， $1 + 1 = 2$ ， $x y = 1$ ，成立。

四、再做一道

例 2：和积约束得到两段范围

实数 $x, y$ 满足 $x + y + x y = 3$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的取值范围。

怎么看出来：

条件和目标都只和 $x + y$ 、 $x y$ 有关。设 $s = x + y$ ， $x y$ 用 $s$ 表示， $s$ 的范围由“ $x, y$ 是实数”决定。

解：

设 $s = x + y$ ，则 $x y = 3 - s$ 。 $x, y$ 是实数当且仅当 $s^{2} \geq 4 (3 - s)$ ，即 $(s + 6) (s - 2) \geq 0$ ，所以 $s \leq - 6$ 或 $s \geq 2$ ，这样的 $s$ 都能由方程 $t^{2} - s t + 3 - s = 0$ 的两根实现。目标 $x^{2} + y^{2} = s^{2} - 2 x y = s^{2} + 2 s - 6 = (s + 1)^{2} - 7$ 。顶点 $s = - 1$ 不在范围内。 $s \geq 2$ 时 $s + 1 \geq 3$ ，目标至少是 $9 - 7 = 2$ ；任给 $w \geq 2$ ，取 $s = - 1 + w + 7 \geq 2$ ，目标正好是 $w$ 。 $s \leq - 6$ 时 $s + 1 \leq - 5$ ，目标至少是 $18$ ，已包含在上一段中。检查： $x = y = 1$ 时 $1 + 1 + 1 = 3$ ，目标为 $2$ ； $x = y = - 3$ 时 $- 6 + 9 = 3$ ，目标为 $18$ 。

答案：

$[2, + \infty)$ 。

五、容易错在哪

只由代数式推出范围不够。还要说明范围内的每个值都能找到原来的变量，否则端点可能取不到。
实数不一定是正数。 $u + v = 4$ 时 $uv$ 可以是负数，如 $(5, - 1)$ ，不要擅自加 $uv \geq 0$ 。
题目写“不等实数”或“三角形三边”时不等式是严格的，端点要去掉。
判别式法要单独讨论二次项系数为 $0$ 的情况。

进阶：严格条件

严格条件：不相等、都为正

题目要求 $u \neq = v$ 时， $S^{2} \geq 4 P$ 改成严格不等；要求 $u, v$ 为正时再加 $S > 0, P > 0$ 。例如正数 $a \neq = b$ 满足 $a^{2} + b^{2} = a + b$ ：设 $s = a + b$ ，由 $a^{2} + b^{2} = s^{2} - 2 ab$ 得 $ab = \frac{s ^{2} - s}{2}$ 。由 $ab > 0$ 得 $s > 1$ ，由 $4 ab < s^{2}$ 得 $s < 2$ ，所以 $s \in (1, 2)$ 。

反向检查：变量又是根又是系数

若 $x^{2} + a x + b = 0$ 的两根是 $a, b$ ，由两根之和、两根之积得 $a + b = - a, ab = b$ ，所以 $b = 0$ 或 $a = 1$ ，得 $(a, b) = (0, 0)$ 或 $(1, - 2)$ 。代回检查： $x^{2} = 0$ 的两根都是 $0$ ， $x^{2} + x - 2 = 0$ 的两根是 $1, - 2$ ，都成立。三角形三边的条件是严格不等式，退化时端点取不到。

进阶：三个变量 · 先修：连续函数的中间值

三变量：固定一个，其余两个用和与积

$a + b + c = 2, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2$ 时，固定 $a$ ， $b + c = 2 - a$ ， $b^{2} + c^{2} = 2 - a^{2}$ ，所以 $b c = \frac{( b + c ) ^{2} - ( b ^{2} + c ^{2} )}{2} = \frac{( 2 - a ) ^{2} - ( 2 - a ^{2} )}{2} = (a - 1)^{2}$ 。 $b, c$ 存在要求 $(2 - a)^{2} \geq 4 (a - 1)^{2}$ ，整理得 $a (4 - 3 a) \geq 0$ ，所以 $0 \leq a \leq \frac{4}{3}$ 。

对称式的直接界，并构造每个值

$a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ 时，由 $(a + b + c)^{2} \geq 0$ 得 $ab + b c + c a \geq - \frac{3}{2}$ ，由 $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + b c + c a$ 得 $ab + b c + c a \leq 3$ 。每个中间值都能照算：任给 $q \in [- \frac{3}{2}, 3]$ ，令 $s = 3 + 2 q$ ，则 $0 \leq s \leq 3$ 。取 $a = \frac{s}{3} + d, b = \frac{s}{3} - d, c = \frac{s}{3}$ ，其中 $d = \frac{9 - s ^{2}}{6}$ 。则 $a + b + c = s$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = \frac{s ^{2}}{3} + 2 d^{2} = 3$ ，所以 $ab + b c + c a = \frac{s ^{2} - 3}{2} = q$ 。

例 3：三个变量化成一个

实数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 2, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2$ ，求 $ab c$ 的取值范围。

怎么看出来：

三个变量地位相同，固定 $a$ ， $b, c$ 由和与积确定。积里正好出现 $b c$ 。

解：

由上面的计算， $b c = (a - 1)^{2}$ ， $0 \leq a \leq \frac{4}{3}$ ，范围内每个 $a$ 都能取实数 $b, c$ 。目标 $g (a) = a (a - 1)^{2}$ 。下界： $a \geq 0$ ， $(a - 1)^{2} \geq 0$ ，所以 $g \geq 0$ ， $a = 0$ 时取等号。上界：作差分解 $g (a) - \frac{4}{27} = (a - \frac{1}{3})^{2} (a - \frac{4}{3}) \leq 0$ ， $a = \frac{1}{3}$ 时取等号。 $g$ 在 $[0, \frac{1}{3}]$ 上图像连续不断，两端的值是 $0$ 和 $\frac{4}{27}$ ，所以中间的值都取得到。检查： $a = \frac{1}{3}$ 时 $b + c = \frac{5}{3}, b c = \frac{4}{9}$ ， $b, c = \frac{4}{3}, \frac{1}{3}$ ，平方和 $\frac{1}{9} + \frac{16}{9} + \frac{1}{9} = 2$ 。

答案：

$[0, \frac{4}{27}]$ 。

进阶：三角与指数 · 先修：三角函数、指数和对数

三角函数和指数的值域也是存在条件

$x = sin y + cos y$ 里， $x = 2 sin (y + \frac{π}{4})$ 只能在 $[- 2, 2]$ 中，而 $sin y cos y = \frac{x ^{2} - 1}{2}$ ，所以 $sin y cos y$ 的范围要在这个 $x$ 范围上算，结果是 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 。如果条件能解出 $sin y = h (x)$ ，主变量的范围就是 $- 1 \leq h (x) \leq 1$ 。如果能解出 $e^{y} = h (x)$ ，范围就是 $h (x) > 0$ ，这是严格不等式，端点取不到。

例 4：指数为正限制主变量

实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + e^{y} = 4$ ，求 $x + e^{y}$ 的取值范围。

怎么看出来：

$e^{y}$ 可以用 $x$ 表示，目标就只剩 $x$ 。 $x$ 的范围来自 $e^{y} > 0$ ，这是严格的。

解：

$e^{y} = 4 - x^{2}$ 。由 $e^{y} > 0$ 得 $- 2 < x < 2$ ，反过来这样的 $x$ 都能找到 $y = ln (4 - x^{2})$ 。目标 $= x + 4 - x^{2} = - (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{17}{4}$ 。顶点 $x = \frac{1}{2}$ 在范围内，最大值 $\frac{17}{4}$ 。下边界： $x$ 越靠近 $- 2$ 目标越靠近 $- 2$ ，而 $- 2 < x < 2$ 时 $x + 4 - x^{2} + 2 = (x + 2) (3 - x) > 0$ ，所以目标总大于 $- 2$ ， $- 2$ 取不到。中间的值：任给 $w \in (- 2, \frac{17}{4}]$ ，取 $x = \frac{1}{2} - \frac{17}{4} - w$ ，它在 $(- 2, \frac{1}{2}]$ 内，目标正好是 $w$ 。检查： $x = \frac{1}{2}$ 时 $e^{y} = \frac{15}{4}$ ，目标 $= \frac{1}{2} + \frac{15}{4} = \frac{17}{4}$ 。

答案：

$(- 2, \frac{17}{4}]$ 。

进阶：判别式法

二次方程的系数也是变量：判别式法

求 $y = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 2}$ 的值域，就是问 $y$ 取什么值时关于 $x$ 的方程 $y x^{2} - 2 x + 2 y - 1 = 0$ 有实根。二次项系数可能为 $0$ ，要单独看： $y = 0$ 时 $x = - \frac{1}{2}$ ，有解。 $y \neq = 0$ 时要有 $4 - 4 y (2 y - 1) \geq 0$ ，即 $(2 y + 1) (y - 1) \leq 0$ ，所以 $- \frac{1}{2} \leq y \leq 1$ 。分母恒正，解出的 $x$ 不会使分母为零。检查： $x = 1$ 时 $y = 1$ ； $x = - 2$ 时 $y = - \frac{1}{2}$ 。

进阶：推到边界

目标对某个变量单调：把它推到边界

目标 $x y$ 在 $x > 0$ 时对 $y$ 递增，固定 $x$ 后 $y$ 取最大，这样就只剩 $x$ 。 $y$ 的上界可能由不同直线决定，上界变化的位置就要分段。

例 5：推到边界后分段

实数 $x, y$ 满足 $0 \leq y \leq x, x + 2 y \leq 6$ ，求 $x y$ 的最大值。

怎么看出来：

$x > 0$ 时 $x y$ 对 $y$ 递增，固定 $x$ 后 $y$ 越大越好。 $y$ 的上界是两条直线中较低的那条，两者在 $x = 2$ 相交。

解：

$x = 0$ 时 $x y = 0$ 。由 $y \geq 0$ 和 $x + 2 y \leq 6$ 得 $x \leq 6$ 。 $0 < x \leq 2$ 时， $y$ 最大为 $x$ ， $x y = x^{2}$ ，最大值 $4$ （ $x = 2$ ）。 $2 \leq x \leq 6$ 时， $y$ 最大为 $\frac{6 - x}{2}$ ， $x y = \frac{x ( 6 - x )}{2} = - \frac{1}{2} (x - 3)^{2} + \frac{9}{2}$ ，最大值 $\frac{9}{2}$ （ $x = 3, y = \frac{3}{2}$ ）。检查： $(3, \frac{3}{2})$ 满足 $\frac{3}{2} \leq 3$ 和 $3 + 3 = 6$ ， $x y = \frac{9}{2}$ 。

答案：

最大值是 $\frac{9}{2}$ 。

真题

按这个方法练 · 42 题

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单变量函数求值域：先判增减，再比端点

先确定 $x$ 的范围，再用配方或作差看函数在哪里增、哪里减。最大最小值只会出现在区间端点，或增减转换的地方。学过导数后，可检查区间内导数为零或不可导的候选点，再结合增减判断。

完整讲解 · 例题 · 可练 41 题

一、是什么

基本做法：配方看增减

$f (x) = x^{2} - 2 x$ 配方得 $(x - 1)^{2} - 1$ 。 $x \leq 1$ 时 $x$ 越大， $x$ 离 $1$ 越近， $f$ 递减； $x \geq 1$ 时 $f$ 递增。所以 $x = 1$ 是增减转换的地方，最大最小值只需要比较它和区间端点。

作差看增减： $x + \frac{4}{x}$

设 $0 < u < v$ ，作差： $f (v) - f (u) = (v - u) (1 - \frac{4}{uv})$ 。 $u, v$ 都不超过 $2$ 时 $uv < 4$ ，差为负， $f$ 递减； $u, v$ 都不小于 $2$ 时 $uv > 4$ ，差为正， $f$ 递增。所以 $x > 0$ 时最小值在 $x = 2$ ，等于 $4$ 。这个转换点要在区间内才能用： $[1, 5]$ 上最小值是 $4$ ； $[3, 5]$ 上 $f$ 递增，最小值是 $f (3) = \frac{13}{3}$ 。

先看一道例题

例 1：转换点在区间内

求 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ 在 $[1, 5]$ 上的值域。

怎么看出来：

上面作差得到： $(0, 2]$ 上递减， $[2, + \infty)$ 上递增。转换点 $2$ 在区间内。

解：

$f$ 在 $[1, 2]$ 上递减，在 $[2, 5]$ 上递增，所以最小值是 $f (2) = 4$ 。比较端点： $f (1) = 5$ ， $f (5) = \frac{29}{5}$ ，最大值是 $\frac{29}{5}$ 。中间的值：任给 $y \in [4, \frac{29}{5}]$ ，取 $x = \frac{y + y ^{2} - 16}{2}$ ，它是方程 $x^{2} - y x + 4 = 0$ 的根，所以 $x + \frac{4}{x} = y$ ，而且它在 $[2, 5]$ 内。

答案：

$[4, \frac{29}{5}]$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
二次式， $x$ 在给定区间	配方，看顶点在不在区间内
目标形如 $A t + \frac{B}{t}$ ， $A, B > 0$ ， $t$ 在正数区间上	比较 $B / A$ 与区间端点；其他符号或负半轴先作差判断
分段函数， $f (a) = f (b)$	用等式消元，剩一个变量后判断增减
不等式对全部 $x$ 成立，含参数	分离参数；最值存在就比较最值，不存在就比较边界并判断等号（见进阶“开端点与恒成立”）
根式加一次式，定义域分两段	每段分别求导，比较驻点和端点（见进阶“导数与驻点”）
两根式之差，或 $x^{2} + 1 - x$	有理化（乘上根式和再除回去），再判断单调（见进阶“根式差与有理化”）
对数相减、 $∣ lo g x ∣$	先写定义域，再化简或消元（见进阶“化简与消元”）

三、怎么用

写定义域或给定范围，断开时分成几段。例如 $f (x) = x^{2} - 2 x$ ， $x \in [0, 3]$ ，只有一段。
配方或作差，得到增减。 $f (x) = (x - 1)^{2} - 1$ ，在 $[0, 1]$ 上递减，在 $[1, 3]$ 上递增。
算出端点和增减转换点的函数值。 $f (0) = 0$ ， $f (1) = - 1$ ， $f (3) = 3$ 。转换点不在范围内时不算。
比较出最小值和最大值，并判断开端点能否取到。这里端点都能取，最小值 $- 1$ ，最大值 $3$ 。
说明中间的值都取得到，写出范围；有几段就取并集。任给 $y \in [- 1, 3]$ ，取 $x = 1 + y + 1 \in [1, 3]$ ，就有 $f (x) = y$ 。值域是 $[- 1, 3]$ 。

四、再做一道

例 2：两段等值，消去一个变量

设 $f (x) = x + 1$ （ $x \leq 0$ ）， $f (x) = x^{2}$ （ $x > 0$ ）。若 $m < n$ 且 $f (m) = f (n)$ ，求 $n - m$ 的取值范围。

怎么看出来：

两个相等的函数值来自不同的段，用等式把 $m$ 写成 $n$ 的式子，目标就只剩 $n$ 。 $n$ 的范围要从 $m$ 的范围算出来。

解：

$x \leq 0$ 这一段递增， $x > 0$ 这一段也递增，同一段内不同的 $x$ 函数值不同，所以 $m, n$ 不在同一段： $m \leq 0 < n$ ，且 $m + 1 = n^{2}$ 。由 $m = n^{2} - 1 \leq 0$ 得 $0 < n \leq 1$ 。目标 $n - m = - n^{2} + n + 1 = - (n - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4}$ 。 $n = \frac{1}{2}$ 时最大，值为 $\frac{5}{4}$ 。 $n = 1$ 时值最小，为 $1$ ； $n$ 靠近 $0$ 时也靠近 $1$ ，但已由 $n = 1$ 取到。任给 $w \in [1, \frac{5}{4}]$ ，取 $n = \frac{1}{2} + \frac{5}{4} - w \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，目标正好是 $w$ 。检查： $n = \frac{1}{2}, m = - \frac{3}{4}$ 时 $f (m) = \frac{1}{4} = f (n)$ ，差为 $\frac{5}{4}$ ； $n = 1, m = 0$ 时 $f$ 都是 $1$ 。

答案：

$[1, \frac{5}{4}]$ 。

五、容易错在哪

转换点不在范围内时，全局最小值不是答案。用不等式得到最小值后，要看取等的点在不在范围内。
只看转换点不比较端点会漏掉最值，端点也可能是最大值。
开端点不能直接写成闭区间，也不能直接排除，要单独判断它能否被别的 $x$ 取到，或参数能否等于它。
定义域断开时，两段之间可能有缺口，不能把两段的最值连成一个区间。

进阶：导数与驻点 · 先修：导数

函数求导：驻点、折点和端点

导数为零的点叫驻点。为什么只需比较这些点：在一个不是端点的位置，如果导数存在且不为零，那么足够靠近这个位置时，两侧分别有比它的函数值更大和更小的值，它就不可能是最大最小值。所以连续段上的最大最小值只可能在驻点、折点（不可导的点）、端点取到。例如 $g (t) = t^{3} - 3 t$ 在 $[0, 2]$ 上， $g^{'} (t) = 3 t^{2} - 3$ ，驻点 $t = 1$ ， $g (0) = 0$ ， $g (1) = - 2$ ， $g (2) = 2$ ，所以值域是 $[- 2, 2]$ 。含根式时求导后要平方，平方可能多出根，必须代回： $h (x) = 2 x^{2} + 3 - x$ 的导数为零，即 $2 x = x^{2} + 3$ ，平方得 $x = \pm 1$ ，但 $x = - 1$ 时左边为负，舍去。 $h (1) = 3$ ，又 $x \to \pm \infty$ 时 $h \to + \infty$ ，所以 $h$ 的值域是 $[3, + \infty)$ 。

例 3：定义域两段都要算

求 $f (x) = \frac{x ^{2} + 3}{x - 1}$ 的值域。

怎么看出来：

$x = 1$ 把定义域切成两段，图像不相连。每段各求驻点，看趋向的值，最后取并集。

解：

$f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 2 x - 3}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{( x - 3 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ^{2}}$ 。 $x > 1$ 时， $f$ 在 $(1, 3)$ 递减，在 $(3, + \infty)$ 递增， $f (3) = 6$ ， $x \to 1$ 和 $x \to + \infty$ 时都趋向 $+ \infty$ ，这一段范围是 $[6, + \infty)$ 。 $x < 1$ 时， $f$ 在 $(- \infty, - 1)$ 递增，在 $(- 1, 1)$ 递减， $f (- 1) = - 2$ ， $x \to - \infty$ 和 $x \to 1$ 时都趋向 $- \infty$ ，这一段范围是 $(- \infty, - 2]$ 。每段上 $f$ 连续，所以这两段里的值都取得到，两段之间的 $(- 2, 6)$ 取不到。检查：设 $s = x - 1$ ， $f = s + \frac{4}{s} + 2$ ， $s = 2$ 时为 $6$ ， $s = - 2$ 时为 $- 2$ 。

答案：

$(- \infty, - 2] \cup [6, + \infty)$ 。

进阶：开端点与恒成立

开端点只看趋向的值

区间端点取不到时，只能看函数值趋向哪里。 $t + \frac{1}{t}$ 在 $(1, + \infty)$ 上递增， $t$ 靠近 $1$ 时函数值靠近 $2$ ，但 $2$ 取不到，值域是 $(2, + \infty)$ 。

恒成立化成最值，也要看最值是否存在

把参数分离成“对所有 $x$ 都有 $g (x) \geq a$ ”。当 $g$ 的最小值存在时，这等价于 $a$ 不超过这个最小值。最小值不存在时，要求 $g$ 的准确下边界，再单独判断 $a$ 能否等于它。例如 $g (x) = x$ ， $x \in (0, 1)$ ，没有最小值，下边界是 $0$ ，而 $g (x) \geq a$ 恒成立仍允许 $a = 0$ 。式子里有根式时先换元，例如 $x^{2} + 1$ 设为 $t \geq 1$ ， $x^{2}$ 写成 $t^{2} - 1$ ，再分离参数。

例 4：恒成立，最小值不存在

对所有 $x > 3$ ，不等式 $x^{2} - a x + 4 \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。

怎么看出来：

$x > 0$ ，可以把 $a$ 分离出来，得到 $x + \frac{4}{x}$ 。它的转换点 $2$ 不在 $x > 3$ 内，而且左端点取不到，所以要单独判断等号。

解：

不等式等价于 $a \leq x + \frac{4}{x}$ 对所有 $x > 3$ 成立。设 $g (x) = x + \frac{4}{x}$ ，由作差结论，它在 $x > 3$ 上递增。 $g (x) - \frac{13}{3} = \frac{( x - 3 ) ( 3 x - 4 )}{3 x} > 0$ ，而 $x$ 靠近 $3$ 时这个差靠近 $0$ ，所以没有最小值，准确下边界是 $\frac{13}{3}$ 。 $a > \frac{13}{3}$ 时，取 $x$ 足够靠近 $3$ ，就有 $g (x) < a$ ，不成立。 $a = \frac{13}{3}$ 时， $g (x) > \frac{13}{3}$ 恒成立，所以等号可以取。检查： $a = \frac{13}{3}$ 时 $x^{2} - \frac{13}{3} x + 4 = (x - 3) (x - \frac{4}{3}) > 0$ 。

答案：

$a \leq \frac{13}{3}$ 。

进阶：根式差与有理化

根式差：有理化再判断单调

$x^{2} + 1 - x = \frac{1}{x ^{2} + 1 + x}$ ，分母为正。分母递增： $u < v$ 时 $v^{2} + 1 - u^{2} + 1 = \frac{( v - u ) ∣ v + u ∣}{v ^{2} + 1 + u ^{2} + 1} < v - u$ ，所以 $(v^{2} + 1 + v) - (u^{2} + 1 + u) > 0$ 。于是原式递减，值都为正。任给 $y > 0$ ，取 $x = \frac{1 - y ^{2}}{2 y}$ ，则 $x^{2} + 1 = \frac{1 + y ^{2}}{2 y}$ ，原式等于 $y$ ，所以值域是 $(0, + \infty)$ 。

进阶：化简与消元 · 先修：对数函数

先化简，但定义域不能变

$lo g_{2} (x^{2} - 1) - lo g_{2} (x - 1)$ 定义域是 $x > 1$ ，化简得 $lo g_{2} (x + 1)$ ，值域是 $(1, + \infty)$ ，不是全体实数。函数方程要先解出函数： $f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x$ 中把 $x$ 换成 $\frac{1}{x}$ ，得 $f (\frac{1}{x}) + 2 f (x) = \frac{3}{x}$ 。第 2 式乘 $2$ 再减第 1 式，得 $3 f (x) = \frac{6}{x} - 3 x$ ，所以 $f (x) = \frac{2}{x} - x$ 。

两个等值点消去一个

$∣ lo g_{2} a ∣ = ∣ lo g_{2} b ∣, a < b$ 时， $lo g_{2} a = - lo g_{2} b$ ，即 $ab = 1$ ，且 $0 < a < 1 < b$ 。目标里的 $a$ 用 $\frac{1}{b}$ 代入，就只剩 $b$ 。

真题

按这个方法练 · 41 题

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区间或参数在变的值域题：看顶点在不在区间，再反求或求并集

函数不变、区间在变时，答案取决于顶点是否落在区间内。按这个分情况，就能求最值、反求参数，或者把一族值域并起来。

完整讲解 · 例题 · 可练 32 题

一、是什么

动区间：按顶点位置分 3 种情况

$f (x) = x^{2}$ 在 $[a, a + 1]$ 上： $a \geq 0$ 时递增，最小值 $a^{2}$ 、最大值 $(a + 1)^{2}$ ； $a + 1 \leq 0$ 时递减，最小值 $(a + 1)^{2}$ 、最大值 $a^{2}$ ； $- 1 < a < 0$ 时顶点在区间内，最小值 $0$ ，最大值是两端较大者。

反求参数：3 件事分开证

已知值域是 $[m, M]$ ，要证明 3 件事：能取到 $m$ ；能取到 $M$ ；全程不超出 $[m, M]$ 。只让端点值满足是不够的，因为区间内部可能越界。二次函数的图像连不断，从最低处走到最高处会经过中间所有高度，配方后也能直接解出 $x$ ，所以取到了两端，中间的值也都取得到。

先看一道例题

例 1：值域长度

设 $f (x) = x^{2}$ ， $a$ 是实数。若 $f$ 在 $[a, a + 1]$ 上的最大值与最小值之差为 $1$ ，求 $a$ 。

怎么看出来：

区间端点含参数，顶点 $x = 0$ 可能在区间内，也可能不在，按它的位置分类。

解：

$a \geq 0$ 时，差为 $(a + 1)^{2} - a^{2} = 2 a + 1$ ，令其为 $1$ ，得 $a = 0$ 。 $a \leq - 1$ 时，差为 $a^{2} - (a + 1)^{2} = - 2 a - 1$ ，令其为 $1$ ，得 $a = - 1$ 。 $- 1 < a < 0$ 时，最小值 $0$ ，最大值是 $a^{2}$ 与 $(a + 1)^{2}$ 中较大者，它们都小于 $1$ ，差不可能是 $1$ 。检查： $a = 0$ 时值域 $[0, 1]$ ； $a = - 1$ 时值域也是 $[0, 1]$ 。

答案：

$a = 0$ 或 $a = - 1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
区间端点含参数，如 $[a, a + 1]$	比较顶点与两端，分 3 种情况
已知值域反求区间端点	分别证明取到下界、取到上界、全程不越界
$f$ 的值域含于 $g$ 的值域，或 $⋃ I_{n}$ 、 $⋂ A_{k}$	逐个算出区间，比较两端（见进阶“值域的包含、并集与交集”）
$f$ 在 $[a, b]$ 上的值域也是 $[a, b]$	按递增、递减、含转换点分类（见进阶“值域等于定义域”）
周期函数加一次式，已知一段的最大值	用 $f (x + T) = f (x) + c T$ 平移区间（见进阶“周期函数”）

三、怎么用

配方找顶点。例如 $f (x) = (x - 1)^{2}$ 在 $[a, a + 1]$ 上的最小值为 $1$ ，求 $a$ 。顶点是 $x = 1$ 。
按顶点相对区间的位置分情况，写出需要的最值。 $a \geq 1$ 时最小值 $(a - 1)^{2}$ ； $a + 1 \leq 1$ 即 $a \leq 0$ 时最小值 $a^{2}$ ； $0 < a < 1$ 时顶点在内，最小值 $0$ 。
列方程，每种情况分别解，解要落在该情况的范围内。 $(a - 1)^{2} = 1$ 得 $a = 2$ 或 $0$ ，只有 $a = 2$ 满足 $a \geq 1$ ； $a^{2} = 1$ 得 $a = \pm 1$ ，只有 $a = - 1$ 满足 $a \leq 0$ ； $0 < a < 1$ 时最小值是 $0$ ，不等于 $1$ 。
挑解代回，核对最值。 $a = 2$ 时 $[2, 3]$ 上最小值 $f (2) = 1$ ； $a = - 1$ 时 $[- 1, 0]$ 上最小值 $f (0) = 1$ 。所以 $a = 2$ 或 $- 1$ 。

四、再做一道

例 2：已知值域反求两个端点

$f (x) = x^{2} - 2 x$ 在 $[a, b]$ （ $a < b$ ）上的值域是 $[- 1, 3]$ ，求所有的 $(a, b)$ 。

怎么看出来：

最小值 $- 1$ 在 $x = 1$ ，所以区间必须含 $1$ 。值 $3$ 只在 $x = - 1$ 和 $x = 3$ 取到，区间又不能越过它们。

解：

$f (x) = (x - 1)^{2} - 1$ 。要取到 $- 1$ ，需 $a \leq 1 \leq b$ 。不越界： $f (x) \leq 3$ 等价于 $- 1 \leq x \leq 3$ ，所以 $a \geq - 1, b \leq 3$ 。要取到 $3$ ，区间必须含 $- 1$ 或 $3$ ，即 $a = - 1$ 或 $b = 3$ 。满足这些条件时，值域恰为 $[- 1, 3]$ ：任给 $y \in [- 1, 3]$ ， $b = 3$ 时取 $x = 1 + y + 1 \in [1, 3]$ ， $a = - 1$ 时取 $x = 1 - y + 1 \in [- 1, 1]$ ，都在区间内，且 $f (x) = y$ 。检查： $(a, b) = (0, 3)$ 时 $f (0) = 0, f (1) = - 1, f (3) = 3$ ； $(a, b) = (- 1, 2)$ 时 $f (- 1) = 3, f (1) = - 1, f (2) = 0$ 。

答案：

$a = - 1, 1 \leq b \leq 3$ ，或 $b = 3, - 1 \leq a \leq 1$ 。

五、容易错在哪

反求参数时，只让端点的值满足要求不够。还要验证区间内部不越界，例 2 中的 $a \geq - 1, b \leq 3$ 就是这样来的。
分情况解出的参数必须落在该情况的范围内，否则要舍去。
顶点在区间内时，最大值要比较两端，不能只看一端。

进阶：值域的包含、并集与交集

值域的包含关系

$t > 0$ 时， $[0, t]$ 上 $x^{2}$ 的值域是 $[0, t^{2}]$ ， $2 x$ 的值域是 $[0, 2 t]$ 。要前者含于后者，只需 $t^{2} \leq 2 t$ ，所以 $0 < t \leq 2$ 。比较值域，只比较两端就够了，前提是都已算出区间。

多个值域的并集：端点加是否相连

$⋃_{n} I_{n}$ 表示把所有 $I_{n}$ 合起来。逐个写出每个值域的开闭端点，比较端点的最小最大值，再证明相邻两段有公共点，否则并集中间可能有缺口。比如 $(n, n + 2)$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）相邻两个有重叠，并集是 $(1, + \infty)$ ；而 $(2 n, 2 n + 1)$ 之间就有缺口。

多个值域的交集：看是否一层包一层

$⋂_{k} A_{k}$ 表示所有 $A_{k}$ 的公共部分。 $x^{2}$ 在 $[- k, 1]$ （ $k = 1, 2, \dots$ ）上的值域是 $[0, k^{2}]$ ， $k$ 越大值域越大，一层包一层，所以交集就是最小的那个 $[0, 1]$ 。

例 3：值域的并集

设 $f_{n} (x) = x + \frac{1}{n}$ ， $x \in (0, 1)$ ，值域为 $I_{n}$ ， $n = 1, 2, \dots$ 。求 $⋃_{n = 1}^{\infty} I_{n}$ 。

怎么看出来：

每个 $I_{n}$ 都是开区间，先写端点，再看是否相连。

解：

$I_{n} = (\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n})$ ， $I_{1} = (1, 2)$ ， $I_{2} = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ ， $I_{3} = (\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$ 。右端最大是 $2$ ，取不到。左端 $\frac{1}{n}$ 趋于 $0$ 但都大于 $0$ ，所以 $0$ 不在并集中，而任何正数 $c < 1$ 都在 $n$ 足够大的 $I_{n}$ 中。 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 有公共点（如 $\frac{5}{4}$ ）， $1$ 在 $I_{2}$ 中，所以没有缺口。

答案：

$(0, 2)$ 。

进阶：值域等于定义域

值域等于定义域

$f$ 在 $[a, b]$ 上的值域也是 $[a, b]$ 时，按增减情况分类。递增时 $f (a) = a, f (b) = b$ ；递减时 $f (a) = b, f (b) = a$ ；含转换点时，最大或最小值已由转换点确定。 $a$ 本身是一个函数值，所以 $a$ 不小于函数的最小值，常常能直接排除一些情况。

例 4：值域等于定义域，分三种情况

设 $a < b$ ， $f (x) = ∣ x - 1∣$ 在 $[a, b]$ 上的值域恰为 $[a, b]$ ，求 $a, b$ 满足的条件。

怎么看出来：

$x = 1$ 是转换点。 $f$ 的全部函数值都不小于 $0$ ，而 $a$ 本身是一个函数值，所以 $a \geq 0$ 。再按 $1$ 相对区间的位置分三种情况。

解：

$a \geq 1$ 时递增， $f (a) = a$ 即 $a - 1 = a$ ，不可能。 $b \leq 1$ 时递减， $f (a) = b, f (b) = a$ ，即 $1 - a = b$ ， $1 - b = a$ ，都是 $a + b = 1$ 。由 $a < b$ 得 $a < \frac{1}{2}$ ，再由 $a \geq 0$ 得 $0 \leq a < \frac{1}{2}$ ，此时 $b = 1 - a \leq 1$ ，符合这一情况。 $a < 1 < b$ 时，最小值是 $f (1) = 0$ ，所以 $a = 0$ ；最大值是 $f (0) = 1$ 与 $f (b) = b - 1$ 中较大者，要等于 $b$ ，但 $b > 1$ 且 $b - 1 < b$ ，不可能。检查： $a = 0, b = 1$ 时值域是 $[0, 1]$ ； $a = \frac{1}{4}, b = \frac{3}{4}$ 时， $f$ 从 $\frac{3}{4}$ 递减到 $\frac{1}{4}$ ，值域是 $[\frac{1}{4}, \frac{3}{4}]$ 。

答案：

$a + b = 1$ ，且 $0 \leq a < \frac{1}{2}$ 。

进阶：周期函数 · 先修：三角函数图像、弧度与周期

三角函数的动区间

$sin \frac{π x}{2}$ 在 $[0, a]$ （ $a \geq 0$ ）上， $0 \leq a \leq 1$ 时最大值是 $sin \frac{πa}{2}$ ； $a \geq 1$ 时区间已含最高点 $x = 1$ ，最大值恒为 $1$ ，区间再变大也不改变它，不必再细分。

周期函数叠加一次式：平移区间

若 $g (x + T) = g (x)$ ， $f (x) = c x + g (x)$ ，则 $f (x + T) = f (x) + c T$ 。所以区间平移 $T$ 后，全部函数值都加上同一个常数 $c T$ ，最大值也一样。例如 $g$ 的周期是 $1$ ， $f (x) = 2 x + g (x)$ ，若 $f$ 在 $[0, 1)$ 上最大值是 $5$ ，则在 $[3, 4)$ 上最大值是 $5 + 3 \cdot 2 = 11$ 。

真题

按这个方法练 · 32 题

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有理数、整数参数的值域题：按类型分开，在整数上比较

整数和既约分数不能连续变化，连续时的最值点可能取不到。相邻两项作差判断增减，或把条件化成严格的整数不等式，一个一个筛。

完整讲解 · 例题 · 可练 10 题

一、是什么

整数上的增减：相邻两项作差

$a_{n} = \frac{n}{n ^{2} + 10}$ 中 $n$ 是正整数。作差： $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{10 - n ( n + 1 )}{( n ^{2} + 10 ) (( n + 1 ) ^{2} + 10 )}$ ，分母为正，只看分子。二次式也一样： $n^{2} - 7 n$ 相邻两项的差是 $2 n - 6$ ， $n < 3$ 时为负， $n = 3$ 时为 $0$ ， $n > 3$ 时为正，所以最小值在 $n = 3, 4$ ，都等于 $- 12$ 。如果先看连续变量的最值点，再比较它两侧的整数，必须先证明函数在两侧分别单调。

把分数靠近 1 的条件化成整数不等式

既约分数的分子、分母最大公因数为 $1$ 。 $\frac{q}{p}$ （ $q < p$ ）写成 $1 - \frac{d}{p}$ ，其中 $d = p - q$ 。例如 $\frac{1}{2} < \frac{q}{p} < \frac{3}{5}$ 等价于 $\frac{2}{5} < \frac{d}{p} < \frac{1}{2}$ ，也就是 $2 d < p < \frac{5}{2} d$ 。 $d$ 给定时， $p$ 只能取这个开区间里的整数，端点不算。

先看一道例题

例 1：整数上的比较

求数列 $a_{n} = \frac{n}{n ^{2} + 10}$ （ $n$ 为正整数）的最大项。

怎么看出来：

$n$ 只能是整数，所以相邻两项作差，看差的符号在哪里变。

解：

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{( n + 1 ) ( n ^{2} + 10 ) - n (( n + 1 ) ^{2} + 10 )}{( n ^{2} + 10 ) (( n + 1 ) ^{2} + 10 )}$ ，分子展开得 $10 - n (n + 1)$ ，分母为正。 $n = 1$ 时分子为 $8$ ， $n = 2$ 时分子为 $4$ ，所以 $a_{1} < a_{2} < a_{3}$ 。 $n \geq 3$ 时 $n (n + 1) \geq 12 > 10$ ，分子为负，所以 $a_{3} > a_{4} > a_{5} > \dots$ 。最大项是第 $3$ 项。检查： $a_{2} = \frac{1}{7} \approx 0.143$ ， $a_{3} = \frac{3}{19} \approx 0.158$ ， $a_{4} = \frac{2}{13} \approx 0.154$ 。

答案：

最大项是 $a_{3} = \frac{3}{19}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
参数是正整数，求数列或函数的最大项	相邻两项作差，看符号在哪里变
既约分数在一个开区间内，要找分母最小	设 $d = p - q$ ，化成 $p, d$ 的严格整数不等式，从小到大试
分数最接近 $1$	让 $\frac{d}{p}$ 最小，每个 $d$ 取最大的 $p$ 比较（见进阶“最接近 1 的分数”）
函数对有理、无理分别定义	分开求范围，再比较（见进阶“有理、无理分开”）
$⋃ I_{n}$ ， $n$ 是正整数	写开闭端点，证明相邻相交（见进阶“整数参数的并集”）
$n$ 个数的和已知，每个数有范围，求 $n$	用每项的范围夹逼 $n$ ，再构造例子（见进阶“用范围夹逼个数”）

三、怎么用

分清哪些量是整数，写出范围。例如求 $a_{n} = \frac{n}{n ^{2} + 6}$ 的最大项， $n$ 是正整数。
把要比较的量化成整数式子。 $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{6 - n ( n + 1 )}{( n ^{2} + 6 ) (( n + 1 ) ^{2} + 6 )}$ ，分母为正，只看分子 $6 - n (n + 1)$ 。
从最小的整数开始试，先找到一个好的值。 $n = 1$ 时分子为 $4$ ， $a_{2} > a_{1}$ ； $n = 2$ 时分子为 $0$ ， $a_{3} = a_{2} = \frac{1}{5}$ 。
用统一的不等式排除其他情况。 $n \geq 3$ 时 $n (n + 1) \geq 12 > 6$ ，从 $a_{3}$ 起递减，所以后面都小于 $\frac{1}{5}$ 。
代回核对。 $a_{1} = \frac{1}{7}$ ， $a_{2} = \frac{1}{5}$ ， $a_{3} = \frac{1}{5}$ ， $a_{4} = \frac{2}{11}$ 。最大项是 $a_{2} = a_{3} = \frac{1}{5}$ 。

四、再做一道

例 2：开区间里分母最小的分数

求开区间 $(\frac{5}{7}, \frac{3}{4})$ 内分母最小的分数。

怎么看出来：

区间靠近 $1$ ，步骤里的作差用不上。还是化成整数式子：设 $d = p - q$ ，把条件化成 $p, d$ 的整数不等式，从小的 $d$ 开始试，再排除更大的 $d$ 。

解：

设分数为 $\frac{q}{p}$ （ $q < p$ ，既约）， $d = p - q$ ，则 $\frac{q}{p} = 1 - \frac{d}{p}$ 。条件化成 $\frac{1}{4} < \frac{d}{p} < \frac{2}{7}$ ，即 $\frac{7}{2} d < p < 4 d$ 。 $d = 1$ ： $3.5 < p < 4$ ，没有整数。 $d = 2$ ： $7 < p < 8$ ，没有。 $d = 3$ ： $10.5 < p < 12$ ， $p = 11$ ，分数是 $\frac{8}{11}$ 。 $d \geq 4$ 时， $p > \frac{7}{2} d \geq 14$ ，分母都比 $11$ 大。检查： $\frac{5}{7} \approx 0.714$ ， $\frac{8}{11} \approx 0.727$ ， $\frac{3}{4} = 0.75$ ，且 $8, 11$ 互质。

答案：

$\frac{8}{11}$ 。

五、容易错在哪

连续时的最值点不是整数时不能直接用。比较它两侧的整数之前，要先证明函数在两侧分别单调，或者直接相邻作差。
分数必须既约，且 $p, q$ 是正整数。开区间的整数不等式不能把端点算进去。
试到一个好的值还不够，要用统一的不等式排除其余所有整数。

进阶：有理、无理分开

按有理数、无理数分开

按有理、无理分别定义的函数不一定连续，有理数很密也不能用连续函数的结论，要先分别分析两部分的范围，再比较。例如 $h (x)$ 在无理点为 $0$ ，在既约分数 $x = \frac{q}{p}$ 处为 $\frac{1}{p}$ ： $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ 上最大值就是找分母最小的分数。 $p = 2$ 的 $\frac{1}{2}$ 不在开区间内； $p = 3$ 的 $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$ 不在； $p = 4$ 的 $\frac{1}{4}, \frac{3}{4}$ 不在； $p = 5$ 有 $\frac{2}{5}$ ，所以最大值是 $\frac{1}{5}$ 。

进阶：整数参数的并集

一族值域的并集

端点含整数 $n$ 时，先写出 $I_{n}$ 的开闭端点，再比较相邻两个是否相交，最后比较所有端点。不能把 $n$ 当连续变量求最值。

例 3：整数参数的并集

设 $f_{n} (x) = \frac{( x + n ) ^{2}}{n + 1}$ ， $x \in (0, 1)$ ，值域为 $I_{n}$ ， $n$ 为正整数。求 $⋃_{n = 1}^{\infty} I_{n}$ 。

怎么看出来：

$f_{n}$ 在 $(0, 1)$ 上递增，端点容易写出。要判断相邻区间是否相连。

解：

$I_{n} = (\frac{n ^{2}}{n + 1}, n + 1)$ ，如 $I_{1} = (\frac{1}{2}, 2)$ ， $I_{2} = (\frac{4}{3}, 3)$ ， $I_{3} = (\frac{9}{4}, 4)$ 。 $I_{n}$ 与 $I_{n + 1}$ 相交，因为 $\frac{( n + 1 ) ^{2}}{n + 2} < n + 1$ 等价于 $n + 1 < n + 2$ 。又 $\frac{n ^{2}}{n + 1}$ 递增，所以左端最小是 $\frac{1}{2}$ ，取不到，右端趋于无穷。

答案：

$(\frac{1}{2}, + \infty)$ 。

进阶：用范围夹逼个数

用范围夹逼个数

若干个数的和已知，而每个数都在 $[m, M]$ （ $m > 0$ ）里时， $n$ 个数的和在 $nm$ 与 $n M$ 之间，于是 $n$ 有范围。这些数是函数值时，先求函数的值域。例如 $n$ 个不小于 $2$ 的数之和是 $7$ ，则 $2 n \leq 7$ ， $n \leq 3$ 。只得到上限还不够，要构造例子说明上限取得到。

例 4：用范围夹逼个数

正整数 $n$ 和实数 $a_{1}, \dots, a_{n} \in [1, 2]$ 满足 $a_{1}^{2} + \dots + a_{n}^{2} = 20$ 。求 $n$ 的全部可能值。

怎么看出来：

每个 $a_{i}^{2}$ 都在 $[1, 4]$ 中，所以总和被 $n$ 和 $4 n$ 夹住， $n$ 不能太小，也不能太大。然后每个 $n$ 都要构造一组数。

解：

由 $1 \leq a_{i}^{2} \leq 4$ 得 $n \leq 20 \leq 4 n$ ，所以 $5 \leq n \leq 20$ 。反过来，对这些 $n$ ，取所有 $a_{i} = \frac{20}{n}$ ，因为 $1 \leq \frac{20}{n} \leq 4$ ，所以 $a_{i} \in [1, 2]$ ，平方和正好是 $20$ 。检查： $n = 5$ 时全取 $2$ ，和为 $20$ ； $n = 20$ 时全取 $1$ ，和为 $20$ 。

答案：

$n = 5, 6, \dots, 20$ 。

进阶：最接近 1 的分数

例 5：最接近 1 的分数

求开区间 $(\frac{2}{3}, \frac{3}{4})$ 内，分母不超过 $20$ 的分数中最接近 $1$ 的一个。

怎么看出来：

$\frac{q}{p} = 1 - \frac{d}{p}$ ，最接近 $1$ 就是让 $\frac{d}{p}$ 最小。 $d$ 固定时 $p$ 越大越好，所以每个 $d$ 只取最大的 $p$ ，再比较。

解：

条件化成 $\frac{1}{4} < \frac{d}{p} < \frac{1}{3}$ ，即 $3 d < p < 4 d$ ，还要 $p \leq 20$ 。由 $3 d < p \leq 20$ 得 $d \leq 6$ ，只有这 $6$ 种。 $d = 1$ ： $3 < p < 4$ ，没有。 $d = 2$ ： $6 < p < 8$ ， $p = 7$ ， $\frac{d}{p} = \frac{2}{7}$ 。 $d = 3$ ：最大 $p = 11$ ， $\frac{3}{11}$ 。 $d = 4$ ：最大 $p = 15$ ， $\frac{4}{15}$ 。 $d = 5$ ：最大 $p = 19$ ， $\frac{5}{19}$ 。 $d = 6$ ： $18 < p \leq 20$ ，最大 $p = 20$ ， $\frac{3}{10}$ 。比较： $\frac{5}{19} \approx 0.2632$ ， $\frac{4}{15} \approx 0.2667$ ， $\frac{3}{11} \approx 0.2727$ ， $\frac{2}{7} \approx 0.2857$ ， $\frac{3}{10} = 0.3$ 。最小的是 $\frac{5}{19}$ ，分数是 $\frac{14}{19}$ 。检查： $\frac{2}{3} \approx 0.667 < \frac{14}{19} \approx 0.737 < \frac{3}{4}$ 。

答案：

$\frac{14}{19}$ 。

真题

按这个方法练 · 10 题

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误区对照

容易误以为

由 $x^{2} + y^{2} = 1$ 用柯西得 $3 x - 4 y \leq 5$ ，即使另有 $y \geq 0$ ，最大值也仍是 $5$ 。

应当这样想

全圆上界的取等点为 $(3/5, - 4/5)$ ，不在上半圆。若 $y \geq 0$ ，则 $3 x - 4 y \leq 3$ ，在 $(1, 0)$ 取得；下界 $- 5$ 在 $(- 3/5, 4/5)$ 仍可达。值域为 $[- 5, 3]$ 。

为什么

普遍成立的界未必是附加约束下的最值。必须把取等点代回所有条件；上半圆连续，保证两个可达端值之间无缺口。

容易误以为

已知实数 $u + v = 4$ ，换元 $s = uv$ 后就可以让 $s$ 取任意实数。

应当这样想

$u, v$ 是 $t^{2} - 4 t + s = 0$ 的实根，必须有判别式 $16 - 4 s \geq 0$ ，即 $s \leq 4$ 。反过来任给 $s \leq 4$ ，可取 $u = 2 + 4 - s, v = 2 - 4 - s$ 。

为什么

消元后还要保证原变量存在。这里没有正数前提，所以也不能擅加 $s \geq 0$ ；例如 $(u, v) = (5, - 1)$ 给 $s = - 5$ 。

容易误以为

$f (x) = 1/ x$ 的定义域两侧可向正负无穷延伸，因此值域必为整个实轴。

应当这样想

函数永远取不到零。每个 $y \neq = 0$ 都可由 $x = 1/ y$ 实现，所以准确值域是 $R ∖ {0}$ 。

为什么

两端无界不能替代中间值可达性。连续像为区间的结论要求定义域是区间；本例定义域被零点断成两段。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 245 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。

函数的值域

从这里开始

函数值域：界、取等与中间值都要落地

知识要点

方法卡

根式、分式求值域：换一个新变量，并求准它的范围

一、是什么

换元的原理：新范围上的函数值就是答案

一个根式：设根式为 t，解出 x

先看一道例题

例 1：一个根式，直接配方

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：根式在分子，分母含 x

五、容易错在哪

两个互补根式：设它们的和

另一种新变量：t=x+1−x2​

例 3：互补根式

分式：除掉公共部分

根式除以一次式：设 t=x+21​

三角换元：把根式或 1+x2 变成三角式

例 4：正切换元

二次约束用极坐标

例 5：圆上的二次目标

例 6：定义域分两段，再有理化

带根式的和求范围：配成平方和，或平方后看乘积

一、是什么

两个根式、平方和固定：平方后看乘积

中间的值怎样取到

平方和开根号，不小于其中一项的绝对值

配出常数下界

先看一道例题

例 1：平方和固定，求和与积的组合

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：根号外是一次式

五、容易错在哪

根号外是二次式

x4 的系数是 2

例 3：两个变量，拆成和与差的平方

系数不同：先证柯西不等式

平方和开根号就是距离

例 4：距离和，先配方

先配方，再看顶点在不在范围内

圆或椭圆上求一次式的范围：配成圆，用平方恒等式

一、是什么

基本结论和原因

配方成圆，缩放成圆

根式代表半圆

先看一道例题

例 1：圆弧两端取不到

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：目标是二次式，用条件化成一次

五、容易错在哪

椭圆里的绝对值：先定符号

斜椭圆：消去 xy 再缩放

两个根式代表四分之一圆

多了一个变量：先固定它

例 3：半径随变量变化

用角度写圆

分式可以看成斜率

例 4：分式看成斜率

分式可以看成夹角

绝对值、max/min 求值域：找切换点分段，再合并

一、是什么

切换点在哪里

每一段里求值域

多个绝对值之和：最小值在哪里

先看一道例题

例 1：分子分母各有切换点

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：系数不同的绝对值和

五、容易错在哪

偶函数可以只算一半

一个根式：设根式为 $t$ ，解出 $x$

例 2：根式在分子，分母含 $x$

另一种新变量： $t = x + 1 - x^{2}$

根式除以一次式：设 $t = \frac{1}{x + 2}$

三角换元：把根式或 $1 + x^{2}$ 变成三角式

$x^{4}$ 的系数是 $2$

斜椭圆：消去 $x y$ 再缩放

对 $t$ 取最大的函数

“任意 $x_{1}, x_{2}$ ”的条件

作差看增减： $x + \frac{4}{x}$