培玉 · 一试
2025 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 8 题
F3填空题组合计数综合
从 个数 中选出 个不同的数（不计顺序），使它们的乘积为 的倍数，则不同选法的数目为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
，需要同时保证两个素因子的总指数。
思路
是所给范围内仅有的 的倍数，因此按它们被选中的个数分类。
解答
在 至 中， 的倍数为 ；只有 含两个因子 ，其余各含一个。 的倍数为 ，每个恰含一个因子 。
若 均未选，则为使乘积含有 ，四个数必须全是 的倍数，其中只有 含因子 ，达不到 ，故无解。
若 恰选一个，则另三个数中至少两个为 的倍数，又至少两个为 的倍数。只有 同时满足两类条件，故必须选 ；其余两数分别从 和 中各取一个。共有
种选法。
若 均选，则因子 已满足，只须从 中再取两个数，共 种。 因此总数为 。
复核
三类由 的选取个数区分，互不重叠。恰选一个的情形中，剩余三个位置必须覆盖两个“含 ”与两个“含 ”的要求，故 的必选性已说明，而非凭列举假定。
方法总结
乘积整除题可先统计每个数提供的素因子指数，再以高指数元素和同时含不同素因子的元素为分类依据。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
关键在选定9和18的出现次数作为分类依据，并在恰选一个时证明15必须出现。
已记下，谢谢！