2026 年湖北预赛

思路

辅助角公式把 $a\cos x+b\sin x$ 化为振幅乘一个余弦。平移自变量使同频率的两个系数作正交旋转，因此系数平方和不变；振幅就是该平方和的平方根。

想法从哪来：四个系数直接一起估计很难，先把一次频率的正余弦合并成一个振幅，通过平移自变量去掉它的相位。对所有实数成立的条件允许这样平移，二次频率的两个系数虽然改变，它们的平方和却保持不变。 接着试将相差半个周期的两个不等式相加：一次项抵消，二次项保留，先控制后者振幅。反过来把这两个不等式分别使用，则同一个右侧同时控制一次项的正负，得到含绝对值的约束。再挑二次余弦为零且二次正弦互为相反数的两个角，消掉剩余干扰，就能单独控制一次振幅，最后把两部分平方界相加。

把一次谐波化成 $R\cos t$ 后，二次谐波的系数平方和保持不变。比较 $t$ 与 $t+\pi$ 可以消去一次谐波并控制二次谐波；再在 $t=\pm \pi /4$ 处利用二次角正弦变号，可独立控制 一次谐波的振幅。