2024 年福建预赛

思路

带权柯西 ${\left(\sum a_i\sqrt{1+a_{i+1}}\right)}^2\le (\sum a_i)\sum a_i(1+a_{i+1})$；非负权为零的项不强加等号比例，需检查正权项。

想法从哪来：根号里是后一变量加一，外面是当前变量，先尝试带权柯西，把原和平方后压成常数加循环相邻乘积和。接下来的难处是五个变量绕成奇环，不能简单分成奇偶两组覆盖每条边。可以把最小变量放到固定位置，让两组和的乘积比循环和多出来的项写成非负式；于是得到四分之一的上界。题目却要求严格小于，不能到这里就结束：这个乘积上界确实能取到。继续检查达到上界时的零变量结构，再与柯西的等号条件对照，会发现两步无法同时取等，这才是严格性的来源。

加权柯西把根式和归结为五边形相邻乘积和 $Q=ab+bc+cd+de+ea$。再选五个变量中的最小者，把 $Q$ 嵌入两组和的乘积； 最后单独排除两步同时取等，得到题目要求的严格不等式。