2023 年内蒙古预赛

解答

记

若两个正整数平方根之和 $q$ 为有理数，则 $\sqrt{xy}=(q^2+xy-uv)/(2q)$ 也为有理数，另一项同理；正整数的有理平方根必为整数。 因此 $xy,uv$ 都是完全平方数。

由 $|4x-9y|=36d$ 可知 $9\mid x,4\mid y$。写成

则 $XY=A^2$，其中 $A$ 为正整数，且 $|X-Y|=d$。由 $|4u-v|=12d$ 可知 $4\mid v$。 写成 $v=4V$，则 $uV=B^2$，其中 $B$ 为正整数，且 $|u-V|=3d$。

另一方面，

令

于是

若 $k>0$，则 $B>3A$。令

则 $h,j$ 为正整数，$hj=k,j-h=6A,j+h=2B$。又因上述两个差均为偶数， $R=(X+Y)/2$ 与 $S=(u+V)/2$ 都是整数，并且

相减得

但 $2S>12k,6R>12k$，且 $2S-6R$ 是正整数，所以左边严格大于 $24k$， 与它等于 $4k$ 矛盾。故只能有 $k=0$。

于是 $d=0$，从而 $X=Y,u=V,B=3A$。由 $XY=A^2$ 得 $A=X$，由 $uV=B^2$ 得 $B=u$。 令 $X=t\in {\mathbb{Z}}_{>0}$，便得到

反向代入可见这些四元组全部满足题设。