2022 年江西预赛

解答

取

并记 $s=u^2+v^2$。以 $BC$ 为直径的圆方程为

把 $AB$ 的方程 $y=0$ 代入式 (1)，除点 $B$ 外的交点为

同理，$F$ 是 $B$ 在直线 $AC$ 上的垂足，故

直线 $CE$ 为 $x=u$，而 $BF\perp AC$，其方程为

因此二者交点为

设

圆 (1) 在圆上点 $(r,t)$ 处的切线方程为

将 $E$ 与 $P_0$ 代入式 (3)，等式成立；将

和 $P_0$ 代入式 (3)，约去 $s=u^2+v^2$ 后等式也成立。因此 $P_0$ 同时在圆于 $E,F$ 两点的切线上，故 $P=P_0$。

由式 (2)，$A,P,H$ 三点共线。另一方面，$H\in BF$，所以题目中的

又 $H\in CE$，故 $D,C,E$ 三点共线。