2017 年辽宁预赛 · 第 3 题

解答

令 $c_k=a_{k-1}{a}_k$，则 $c_1=134\cdot 150=20100$，原递推给出 $c_{k+1}=c_k-k$，所以

若 $a_n=0$，必有 $c_n=0$，即 $n(n-1)=40200=201\cdot 200$，正整数解为 $n=201$。并且对 $1\le k\le 200$，$c_k>0$；由 $a_0>0$ 和 $a_k=c_k/a_{k-1}$ 归纳得此前各项均正，故递推确能合法运行到第 $201$ 项并在那里首次为零。因此