2023 年福建预赛

思路

两个单位向量的和沿内角平分线；旁心是一个内角平分线与另外两条外角平分线的交点。旁切圆半径为面积除以半周长减对应边。沿用不同字母不同点约定D≠A。

想法从哪来：先把向量式左右都减去CA，会发现AD沿两条单位边向量之和，这正是A角的内平分方向。再结合外角平分线位置，应该识别旁心而非任意动点；点的角色确定后，参数就转成旁切圆半径。两邻边分别变化不便控制，已知夹角和对边长度则提示改用邻边和：余弦定理给乘积，半周长公式又能把旁半径化成邻边和的一次式。最后范围并非只由三角形不等式决定，两个其余角还必须锐；将它写成两边平方差的严格界，再解邻边和范围。下端是直角退化边界，上端的等边构型则能实际达到。

向量式说明 $D$ 在 $A$ 的内角平分线上；再结合 $D$ 位于三角形的一条外角平分线，可知 $D$ 是 $A$ 旁心。把 $\lambda$ 化成两邻边之和后，只需刻画锐角条件。