易混 2024 年江苏预赛 · P006537
两题都出现线段乘积关系，但乘积来自不同的几何连接方式。使用圆幂前必须先核对割线上的共线关系；另一种乘积式则来自相似三角形的对应边比，不能仅凭式子的外形选定定理。
乘积的符号形式很像，线段在图中的连接方式不同。
培玉 · 一试
2021 年吉林预赛
F3填空题平面几何综合
的直径 与弦 交于点 ，
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先由相交弦定理求出直径长度，再以直径为坐标轴，通过点 到 的距离确定其方向。
解答
由相交弦定理，
因 ，故 ，从而 。
取 ，，则圆心为 ，半径为 ， 且 。设从 指向 的单位向量为 。由 ，
点 在圆上，故
化简得 ，于是
因此直线 与直径 的夹角为 。圆周角 与 同弧 ，所以
复核
由所得 有 ，且另一弦端点沿反方向距 为 ； 相交弦乘积为 ，与 一致。上下两个对称位置均给出同一圆周角大小。
方法总结
直径与弦相交的长度数据先用相交弦定理补齐； 坐标化后利用圆方程确定弦方向，再以同弧圆周角转回所求角。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先由交弦乘积求整个直径，再用已知PD定位弦端在圆的上顶或下顶，进而识别所求同弧圆周角。
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易混 2023 年吉林预赛 · P006709
看见同一点到圆上两点的距离乘积，先检查这三点是否共线。真正的割线可直接使用点幂；若题设恰好排除了这种共线关系，乘积等式仍须重新分析，不能把它当作圆幂结论。
两题都有圆与线段乘积，是否具有割线所要求的共线结构却相反。
易混 2022 年山东预赛 · P006888
圆上从同一点引出的割线乘积不随方向改变，但把圆换成椭圆后不能直接照用这一点幂性质。椭圆必须保留直线方向在二次方程中的系数，再由根积与点积关系处理；先判断曲线种类和线段位置。
两题都有弦、点积或长度乘积，决定工具的是圆的等距结构是否仍然成立。
易混 2017 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 11 题 · P007264
两题的共线距离乘积都由同一个圆幂控制，但普通线段长度的乘积不自带符号。先判断出发点在圆内还是圆外，才能决定它等于圆幂还是圆幂的相反数。
前题是圆内两相交弦，圆幂为负；后题须先由动点参数证明它始终在圆外，再把正圆幂直接用于割线乘积。
已记下，谢谢！