同一骨架 2026 年上海预赛 · P006138
把圆上的相邻顶点之间的弧段当作变量，整周就提供了一个固定总量。弦长或角度条件随后转成对这些弧段的约束；先用这层表示，再处理半径或计数。
重复边长的内接多边形与随机取点的三角形，都能从圆周间隔入手。
培玉 · 一试
2026 年吉林预赛
F3填空题概率
在正 边形中，任取三个顶点，可以构成钝角三角形的概率是 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
三个顶点把外接圆周分成三个正整数弧段。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
圆周角是否为钝角，只取决于其所对弧段是否超过 半圆。由于 为奇数，不会出现直角三角形，并且至多有一个弧段超过半圆。
解答
按逆时针顺序看三个选中顶点，它们把正 边形的圆周分成长度为正整数 的三个弧段，其中
三角形为钝角三角形，当且仅当三个弧段中有一个至少为 ；这样的长弧唯一。
从长弧之后的第一个顶点开始计数。该顶点有 种选择。若长弧长度为 ，则
其余两个正弧段满足
共有 种有序分法。因此钝角三角形共有
个。所有三角形共有
个，故所求概率为
复核
长弧唯一，所以以“长弧之后的顶点”为起点不会重复计数； 最大只能为 ， 因为另两个弧段均为正整数。直接约分 得 。
方法总结
正多边形顶点构成的三角形可用三个圆周间隔编码。圆周角定理把锐、直、钝转成 相对半圆长度的整数条件；固定唯一的长间隔后，再用正整数分拆计数。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
将钝角转成唯一一段超过半圆的整数弧，固定长弧后的起点计数，可避免按三个顶点计数时的重复。
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