2018 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 8 题

解答

令 $d_i=a_{i+1}-a_i\in \{1,2\}$（$1\le i\le 9$）。由 $a_{10}=3a_1$ 得

因此九个增量的和必须为偶数，且一旦选定增量，$a_1$ 就被唯一确定。另一方面，$a_2+a_8=2a_5$ 等价于

若前组三个增量中有 $k$ 个为 $2$，后组也必须有 $k$ 个为 $2$，故这六个增量共有

种选择。它们的总和为偶数，因而 $d_1+d_8+d_9$ 也须为偶数。这三个数中为 $2$ 的个数须为 $1$ 或 $3$，共有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)=4$ 种选择。 每种增量选择均令 $a_1=(d_1+\cdots +d_9)/2$，再逐项相加，就唯一得到符合全部条件的整数数列。因此总数为 $\boxed{20\times 4=80}$。