2009 年山西预赛 · 第 2 题

解答

设 $t=\tan \beta \ge 0$，则 $\tan \alpha =3t$。角差 $\delta =\alpha -\beta \in [0,\pi /2)$，并有 $\tan \delta =2t/(1+3t^2)\le 1/\sqrt{3}$，因为 $1+3t^2\ge 2\sqrt{3}t$。正切在此角差区间严格递增，所以 $\delta \le \pi /6$。当 $t=1/\sqrt{3}$，即 $\beta =\pi /6,\alpha =\pi /3$ 时取等，故最大值为 $\boxed{\pi /6}$。