2017 年河北预赛 · 第 13 题

解答

记椭圆两焦点为 $F_1,F_2$，中心为 $O$，长半轴为 $a=\sqrt{5}$，半焦距为 $c=1$。先说明焦点反射性质。对椭圆上一点 $T$，在射线 $F_{2}T$ 上取 $U$ 使 $F_{2}U=2a$；由 $T{F}_1+T{F}_2=2a$，知 $TU=T{F}_1$。$F_{1}U$ 的垂直平分线过 $T$。对任意椭圆点 $X$，

故椭圆全部在该垂直平分线的 $F_1$ 一侧，并于 $T$ 接触。这就是 $T$ 处的切线；也就是说，$F_1$ 关于该切线的反射像为 $U$，且 $F_{2}U=2a$。

现在设从 $M$ 引出的两条椭圆切线互相垂直，$F_1$ 关于两切线的反射像分别为 $U,V$。两次关于垂直直线的反射合成为以交点 $M$ 为中心的半周旋转，故 $M$ 是 $UV$ 的中点，且 $MU=MV=M{F}_1$。由上面的性质，$F_{2}U=F_{2}V=2a$。对三角形 $F_{2}UV$ 用中线公式，得

再对以 $O$ 为中点的 $F_1{F}_2$ 用中线公式，得

反之，设 $MO=3$。椭圆内各点与 $O$ 的距离不超过 $a=\sqrt{5}<3$，故 $M$ 在椭圆外，有两条不同的切线。仍将 $F_1$ 关于两切线反射为 $U,V$，则 $MU=MV=M{F}_1$，$F_{2}U=F_{2}V=2a$。由 $M{O}^2=2a^2-c^2$ 和中线公式，$M{F}_2^2+M{U}^2=4a^2$；结合 $F_2{U}^2=4a^2$，知 $MU\perp M{F}_2$，同理 $MV\perp M{F}_2$。$U,V$ 不同，故它们是以 $M$ 为圆心、$M{F}_1$ 为半径的圆与过 $M$ 的这条垂线的两个交点，因而互为关于 $M$ 的对称点。将 $F_1$ 反射到 $U,V$ 的两条轴线于是互相垂直（两轴夹角的二倍为半周旋转角）。这证明轨迹恰为半径 $3$ 的圆。

最后在圆 $C$ 上，两个切线直角三角形给出 $PA=PB=m$、$O{P}^2=m^2+9$，并有

故设 $t=m^2+9>9$，数量积满足

等号在 $O{P}^2=t=9\sqrt{2}$ 时取到。这条证明中作图计算可用坐标，但轨迹证明只使用反射、椭圆焦点定义及中线公式。