易混 2023 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 9 题 · P007142
两题都求前若干正解的和，但完整分支合并后的间隔结构不同。一个方程的周期内与跨周期间隔恰好相同，可合为一列；另一个方程的两族正解交替却不等间隔，适合相邻配对。先排序再判断求和模型，不能把“每族等差”误作“合并仍等差”。
起始负项和每族首个正项都要单独检查；同样按整周期求和，也必须确认末周期是否只取部分分支。
培玉 · 一试
2023 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 5 题
F2填空题三角恒等变形
方程 的最小的 个正实数解之和为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
用二倍角公式统一三角函数，再将不同分支的解按从小到大合并，避免按分支求和时漏掉末尾两项。
解答
原方程等价于
因此一个周期 内的解依次为
三者的相邻间隔，以及第三个解到下一周期第一个解的间隔，均为 。 所以全部正实数解从小到大恰为
所求和为
复核
前六个完整周期贡献 个解，和为 ；再加入第七周期的前两个解，其和为 ，总和仍为 。
方法总结
三角方程的前若干解求和，关键在于把通解排成有序数列；应同时检查周期内部与周期间的间隔。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
二倍角公式统一为正弦后得到三个明确分支，检查周期内外间隔即可合并为等差数列。
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