培玉 · 一试
2013 年天津预赛 · 第 3 题
F2选择题向量的数量积与几何意义
在 中，
则 是（ ）。
- (A)
等腰三角形
- (B)
直角三角形
- (C)
等腰直角三角形
- (D)
以上均不对
作答
标准答案：A
解析
提示
两条相反方向的底边向量相乘时，先统一起点。
思路
把数量积等式移项后，可与另外两边的长度平方差直接对应。
解答
以 为向量原点，记 。则
原式给出
因此
故 ，三角形是等腰三角形，选 。
复核
例如 满足两边相等，也满足原数量积等式，却不是直角三角形或等腰直角三角形。因此B、C不是必然结论，D也被已证明的等腰性质排除。
方法总结
向量等式应先统一方向，再找长度平方差；两边平方差为零就得到等腰，不需要求三角形的全部角。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
原式含相反方向的边向量，须先统一起点和符号，再把点积等式识别为另两边的平方长度相等；必然类型还要与更强的直角等腰类型区分。
已记下，谢谢！