2013 年河南预赛 · 第 2 题

解答

设长方体三棱长为 $a,b,c>0$，体对角线长为 $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。令 $x=a/d,y=b/d,z=c/d$，它们正且 $x^2+y^2+z^2=1$，分别等于三个方向余弦。再令 $U=yz/x,V=zx/y,W=xy/z$，则 $UV+VW+WU=z^2+x^2+y^2=1$。由 $(U+V+W{)}^2\ge 3(UV+VW+WU)=3$，原式至少为 $\sqrt{3}$。当三棱相等时 $x=y=z=1/\sqrt{3}$，三个新量也相等，确能取等。故最小值为 $\boxed{\sqrt{3}}$。