培玉 · 一试
2025 年北京预赛
满射分配中的同组概率
F3填空题概率
将 个不同的科研项目分配给 个不同的研究所，要求每个研究所至少负责 个项目，则项目 和项目 被分配到同一研究所的概率是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
样本空间是从六个项目到四个研究所的满射。
思路
把 合并成一个整体后，有利情形仍是一个满射计数。
解答
把六个不同项目分成四个非空组，再把四组分配给四个研究所，总数为
其中第二类 Stirling 数
若 在同一研究所，把它们视为一个整体，则相当于把五个不同对象满射到四个研究所，有利数为
所以所求概率为
复核
合并 后每个满射与一个原问题中的有利分配一一对应；研究所均带标号，因而总数和有利数中的 同时出现并约去。
方法总结
带“每盒非空”限制的随机分配用满射计数；指定两对象同盒时，可先合并对象，再继续使用第二类 Stirling 数。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
样本空间必须限定四所均非空，先按3+1+1+1和2+2+1+1计总分配，再将A、B捆成一对象计有利满射。
已记下，谢谢！