2010 年河北预赛 · 第 13 题

解答

记目标为 $T$，令 $p=ab=4-(a-2{)}^2\in [3,4]$，计算得 $T^2=4+4/p+2\sqrt{p-2+17/p}$。因 $3-2/p>0$，且 $p-2+17/p-(3-2/p{)}^2=(4-p)(7p-p^2-1)/p^2\ge 0$，有 $T^2\ge 10$，故 $T\ge \sqrt{10}$。这里 $7p-p^2-1>0$ 在所需区间成立。另一方面，柯西给 $T^2\le 2(a+1/a+b+1/b)=8+8/p\le 32/3$。若 $p>3$，末一步严格；若 $p=3$，两数为一与三，两个根式不同，柯西一步严格。所以 $\boxed{\sqrt{10}\le T<4\sqrt{6}/3}$。