培玉 · 一试

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2013 年辽宁预赛 · 第 13 题

F2解答题函数综合

设关于 $x$ 的方程 $x^{2} - m x - 1 = 0$ 有两个实根 $α, β$ （ $α < β$ ），函数 $f (x) = \frac{2 x - m}{x ^{2} + 1}$ 。
(1) 求 $α f (α) + β f (β)$ 的值；
(2) 判断 $f (x)$ 在区间 $(α, β)$ 的单调性，并加以证明；
(3) 若 $λ, μ$ 均为正实数，证明：
$f (\frac{λ α + μ β}{λ + μ}) - f (\frac{μα + λ β}{λ + μ}) < ∣ α - β ∣$ 。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

F2：第1问韦达与根值、第2问导数已引出第3问；正权平均处于根间，再用严格单调及端点值差控制，均为题问引导下相连的常规步骤。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：韦达定理：根的整体关系、用严格单调比较或还原

专题卡：分段函数和复合方程：逐段列值域，数清每个值有几个输入