同一骨架 2015 年陕西预赛 第 7 题 · P010619
三角形角和可把第三个角的正切或半角正切写成前两个量的和与积。围绕这个目标组合消元，常可跳过分别求角；若仍有自由度，再优化那个尚未确定的乘积。
前题两个正切余切差给出公共分子，目标能直接拆为已知式的倒数和；后题两个正半角正切的和固定，目标只剩乘积，取等时还要还原成非退化三角形。
培玉 · 一试
2026 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 3 题
F2填空题三角恒等变形
在 中，已知 ，，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把两个已知式通分，它们实际上给出了同一个分子。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
再把目标正切写成这两个式子的倒数之和。
解答
设 ，原式要求二者有限且非零。已知式化为 ，所以 ，进而 。
复核
分母 非零不仅允许这次除法，也保证 及 有定义。原三角形的 都非零，而两项正切的存在已排除其余余弦禁点，没有约掉可能为零的量。
方法总结
正切余切的差可通分为共同结构；把目标拆成已知式的倒数前，须核每个分母非零。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
将目标写成两已知差的倒数之和，检查正切余切有定义。
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