培玉 · 一试
2022 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 6 题
F2填空题空间角与距离
若正四棱锥 的各条棱长均相等， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
各棱等长可先确定锥高，随后直接计算方向向量的数量积。
思路
另取 中点可把异面直线角平移到同一三角形内，作为几何复核。
解答
设各棱长为 ，底面中心为原点，底面在 内。取
底面中心到顶点的距离为 ，所以锥高也为 ，可取
于是 ，。 设两直线所成角为 ，则
复核
取 中点 ，则 、。 因 、，有 ，故 。 余弦定理给出 ，与坐标结果一致。
方法总结
空间直线角可用方向向量求锐角，也可先构造平行线转到平面三角形；数量积的符号与直线所成锐角的约定要区分。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
正四棱锥及等棱条件直接确定锥高，以底面中心建系后套用常规方向向量夹角公式。
已记下，谢谢！