2017 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 5 题

解答

设平面与PC交于D。切分后的四面体PABD与CABD共用底面ABD；P、C到平面ABD的距离之比为PD:DC，故两块体积之比为PD:DC。由体积平分得PD=DC，即D为PC中点。取

其中 $h=\sqrt{11/3}$，从而 $D=(0,\sqrt{3}/3,h/2)$。平面ABD的法向量可取 $n=(0,-h/2,\sqrt{3}/3)$，PC的方向向量为 $v=(0,\sqrt{3}/3,-h)$。计算得

线面角 $\theta \in [0,\pi /2]$ 满足 ${\sin }^2\theta =11/20$，故 $\boxed{\cos \theta =3\sqrt{5}/10}$。