2014 年湖北预赛 · 第 5 题

解答

根式有意义要求 $-1\le a\le 3$。在此区间，$\sqrt{3-a}$ 严格递减、$\sqrt{a+1}$ 严格递增， 故其差为连续严格递减函数。求差等于 $1/2$ 的分界点：令 $v=\sqrt{a+1}\ge 0$，则

解得 $v=(\sqrt{31}-1)/4$（另根为负舍去），从而 $a=1-\sqrt{31}/8$。 此点在定义域内，且两根式均为非负数，回代等式成立；在 $a=-1$ 时原差为 $2>1/2$。 故由严格单调性，所求为 $\boxed{[-1,1-\sqrt{31}/8)}$。