2014 年黑龙江预赛 · 第 14 题

解答

当 $x\le 1$ 时，$f(x)=1/4-(x-1/2{)}^2\le 1/4$，且 $x=1/2$ 取等。 当 $x>1$ 时，${\log }_{1/3}x<0$。所以 ${\max }_{\mathbb{R}}f=1/4$。 由三角不等式，

当 $x$ 取 $k$ 与 $1$ 之间（含端点）时可取等，所以 ${\min }_{\mathbb{R}}g=|k-1|$。 题中 $x_1,x_2$ 可以独立任取，因此其条件必要且充分地等价于

必要性由分别取上述极值点得到；充分性由下列不等式保证：

故所求范围为 $\boxed{k\le 3/4\text{ 或 }k\ge 5/4}$，两端均允许取等。