2022 年广西预赛

解答

$n=1$ 时取 $m=2$ 不成立，$n=2$ 时取 $m=3$ 不成立。 若 $n\ge 4$，取 $m=3$。由 $3^4>4^3$，且

可知 $3^n>n^3$，仍不成立。因此只能有 $n=3$。

下证 $3^m\ge m^3$ 对所有正整数 $m$ 成立。$m=1,2,3$ 可直接检查； 当 $m\ge 3$ 时，

故由归纳法成立。于是