2019 年中科大少年班初试 · 第 2 题

解答

利用 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 与 $\cos 3x=\cos x(1-4{\sin }^{2}x)$，原式为 $\cos x(1+2\sin x-4{\sin }^{2}x)=0$。第一支 $\cos x=0$ 给 $x=\pi /2,3\pi /2$，根和为 $2\pi$。第二支给 $\sin x=(1\pm \sqrt{5})/4$，两值均在 $(-1,1)$；正值支的两个根在上半周，和为 $\pi$，负值支的两个根在下半周，和为 $3\pi$。各支没有重合，故全部根之和为 $\boxed{6\pi }$。