2008 年天津预赛 · 第 13 题

解答

取外心O为原点，记A、B、C的位置向量为a、b、c，外接圆半径为R，则三向量长度均为R。令 $h=a+b+c$，因 $(h-a)\cdot (b-c)=|b{|}^2-|c{|}^2=0$ 及其循环式，h是垂心H的位置向量。因P在EF所在直线上，可写 $p=[a+(1-t)b+tc]/2$，t为实数。于是

同理，对Q、B及R、C求得完全相同的距离差。结合AP=BQ=CR，得到 $\boxed{H{P}^2=H{Q}^2=H{R}^2}$。三点位于中位三角形三条边的延长线上，彼此不同；它们到H的距离相等，故三点不共线且H就是三角形PQR的外心。