2018 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 11 题

解答

设 $A=(u^2,2u)$、$B=(v^2,2v)$。弦 $AB$ 的方程为

因为它过 $F=(1,0)$，所以 $uv=-1$，特别地 $u,v$ 非零且异号，$F$ 位于线段 $AB$ 内部。

设外接圆方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey=0$。代入抛物线点 $(t^2,2t)$，得到

其四个不同实根为 $0,u,v,w$，其中 $P=(w^2,2w)$。由三次项系数为零，

因为 $PF$ 平分 $\angle APB$，由角平分线定理及 $F$ 的纵坐标为零，

利用 $uv=-1$ 和 $w=-(u+v)$ 展开距离平方，

代入上式并消去混合项，得

若 $u^2=v^2$，由 $uv=-1$ 得 $u+v=0$，从而 $w=0$，即 $P=O$，与题设矛盾。因此

又 $u^2{v}^2=1$，故 $(u^2+v^2{)}^2=13$，即 $u^2+v^2=\sqrt{13}$，从而 $w^2=\sqrt{13}-2$。抛物线上任一点 $(w^2,2w)$ 到焦点的距离为

最后验证可实现性。取

则 $uv=-1$，$u^2+v^2=\sqrt{13}$；并且 $u^2\notin \{1,1/2,2\}$，故 $0,u,v,w$ 两两不同。$O,A,B$ 不共线，其外接圆的第四交点参数确为 $w$。以上对称等式成立，逆向代入距离公式得 $v^{2}P{A}^2=u^{2}P{B}^2$；因距离均正，得 $PA/PB=|u|/|v|=FA/FB$。$F$ 在 $AB$ 内部，由角平分线定理的逆定理，$PF$ 确实平分内角 $APB$。 所以 $\boxed{|PF|\text{ 的所有可能值为 }\sqrt{13}-1}$。