2013 年河北预赛 · 第 12 题

解答

（1）$e=1/2$ 给 $c=a/2,b^2=3a^2/4$，通径长 $2b^2/a=3$，所以 $a=2,b^2=3,c=1$。方程为 $\boxed{x^2/4+y^2/3=1}$。（2）（a）每个非退化焦点三角形的周长为 $2a+2c=6$。内心按对边长加权，所以 $y_{I_1}=y_B/3,y_{I_2}=y_A/3$。两交点在横轴异侧，四边形面积为 $(|y_A|+|y_B|)/3$，而 $F_1$ 在 $AB$ 内部，将三角形 $A{F}_{2}B$ 分成的两个三角形总面积为 $|y_A|+|y_B|$。故 $\boxed{p=1/3}$。（b）对 $BM$ 非竖直情形写 $y=k(x-1)$，令 $d=3+4k^2$。交点横坐标和、积为 $s=8k^2/d,p_0=(4k^2-12)/d$。于是 $B\cdot M=(1+k^2)p_0-k^{2}s+k^2=(-5k^2-12)/d$。取 $C=(h,0)$，得到 $(M-C)\cdot (B-C)=h^2+((-5-8h)k^2-12)/d$。令 $h=11/8$，分式恒等于负四，所以 $\boxed{C=(11/8,0),\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{CB}=-135/64}$。若 $BM$ 竖直，则 $B,M=(1,\pm 3/2)$，代入同样得到该常数。