垫脚石（此题 → 相关题） 2026 年上海预赛 · P006142
从逐元素记录属于哪些集合出发，可把交并条件改写成元素的归属状态或隶属指标集。
两个集合时按固定状态数量直接计数；更多集合的交集条件则限制指标集大小，进而得到覆盖数量的上界。
培玉 · 一试
2026 年甘肃预赛
交并集条件下的有序对计数
F2填空题排列组合
设全集 ，若子集 满足： 恰有 个元素， 恰有 个元素，则这样的有序集合对 的个数为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先选并集和交集。
思路
并集除去交集后，每个元素必须且只能属于 中的一个， 因此可用二选一完成计数；有序性正好由这些选择保留。
解答
先从 中选出 的 个元素，有
种选法。再从这 个元素中选出 的 个元素，有
种选法。
余下的 个元素均在并集中但不在交集中，所以每个元素必须在 与 之间二选一，共有 种分配。故有序集合对的个数为
复核
交集中的元素被同时放入 ，并集外的唯一元素同时不放入二者，其余三个元素各放入 且只放入一个集合，因此构造必然满足两个基数条件。反过来，每个合法有序对也唯一对应这三步 选择，故没有重复或遗漏。
方法总结
给定交、并集大小时，可按“先并集、再交集、最后分配对称差”的顺序计数。 若要求的是有序集合对，则对称差元素分到哪一个集合的方向必须保留。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先选并集再选交集，剩余三个元素各自二选一分给A或B，有序性使无需除以2。
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