2009 年河北预赛 · 第 13 题

解答

由 $\sum x_i=0$，$n$ 必为偶数，记 $n=2r$，其中各有 $r$ 项为正七、负七。除以七后，加权目标为二百八十七。其最大值在正号占据最大的 $r$ 个下标时取得，为

所以 $r^2\ge 287$，得 $r\ge 17$，$n\ge 34$。 当 $n=34$ 时，先令下标一至十七为负、十八至三十四为正，加权符号和为二百八十九。交换第十七、十八项的正负号，该和减少二，成为二百八十七，且正负项数仍相等。因此取正七的下标为 $17,19,20,\dots ,34$，其余为负七，即满足两原条件。故最小值为 $\boxed{34}$。